Question

Применение определенных интегралов для вычисления найти объем тел вращения.
y=8+2x-x^2
y=x+6
Пример на картинке

Answer 1

$y=8+2x-x^2\ \ ,\ \ y=x+6\\\\8+2x-x^2=x+6\ \ ,\ \ x^2-x-2=0\ \ ,\ \ x_1=-1\ ,\ x_2=2\\\\\\S=\int\limits^2_{-1}\, \Big((8+2x-x^2)-(x+6)\Big)\, dx=\int\limits^2_{-1}\, (-x^2+x+2)\, dx=\\\\\\=\Big(-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+2x\Big)\Big|_{-1}^2=-\dfrac{8}{3}+2+4-\Big(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-2\Big)=-3+6-\dfrac{1}{2}+2=4,5$

$V_{ox}=\pi \int\limits^2_{-1}\, \Big((8+2x-x^2)^2-(x+6)^2\Big)\, dx=\\\\\\=\pi \int\limits^2_{-1}\, (x^4-4x^3-12x^2+32x+64-(x^2+12x+36))\, dx=\\\\\\=\pi\int\limits^2_{-1}(x^4-4x^3-13x^2+20x+28)\, dx=\\\\\\=\pi \cdot \Big(\dfrac{x^5}{5}-x^4-\dfrac{13x^3}{3}+10x^2+28x\Big)\Big|_{-1}^2=\\\\\\=\pi \cdot \Big(\dfrac{32}{5}-16-\dfrac{104}{3}+40+56-\Big(-\dfrac{1}{5}-1+\dfrac{13}{3}+10-28\Big)\Big)=$

$=\pi \cdot \Big(99+\dfrac{33}{5}-\dfrac{104}{3}-\dfrac{13}{3}\Big)=\pi \cdot \Big(99+\dfrac{33}{5}-\dfrac{117}{3}\Big)=\pi \cdot \Big(99-\dfrac{486}{15}\Big)=\\\\\\=\pi \cdot \dfrac{999}{15}=66,6\cdot \pi$

Answer 2

Пошаговое объяснение:

$y=8+2x-x^2\ \ \ \ y=x+6\ \ \ \ V=?\\8+2x-x^2=x+6\\x^2-x-2=0\\D=9\ \ \ \ \sqrt{D}=3\\x_1=-1\ \ \ \ x_2=2\\V=\pi \int\limits^2_{-1} {((8+2x-x^2)^2-(x+6)^2)} \, dx =\pi \int\limits^2_{-1} {((8+2x)-x^2)^2-(x+6)^2)} \, dx =\\=\pi \int\limits^2_{-1} {(64+32x+4x^2-16x^2-4x^3+x^4-x^2-12x-36)} \, dx =\\=\pi \int\limits^2_{-1} {(x^4-4x^3-13x^2+20x+28)} \, dx =\pi (\frac{x^5}{5}-x^4-\frac{13x^3}{3}+10x^2+28x)\ |_{-1}^2=$

$=\pi (\frac{32}{5}-16-\frac{104}{3}+40+56-(\frac{(-1)^5}{5} -(-1)^4-\frac{13*(-1)^3}{3}+10*(-1)^2+28*(-1))=\\=\pi (6,4-\frac{104}{3}+80-(-\frac{1}{5} -1+\frac{13}{3} +10-28)=\pi (86,4-\frac{104}{3}-(0,2-19+\frac{13}{3} ))=\\=\pi (86,4-\frac{104}{3}-(-19,2+\frac{13}{3} ))=\pi (86,4-\frac{104}{3} +19,2-\frac{13}{3})=\\=\pi (105,6-\frac{117}{3} )=\pi (105,6-39)=66,6\pi \approx209,23.$

Ответ: V≈209,23 куб. ед.