Question

ОЧЕНЬ СРОЧНО! 50 балов!

Вычислить ЛИМИТ

Answer 1

$\displaystyle \sf \lim_{x \to \infty}\left(\frac{x-1}{x+4}\right)^{3x+2}=exp\left( \lim_{x \to \infty} (3x+2)\cdot ln\left(\frac{x-1}{x+4}\right) \right)$

Замена:  t = 1/x

$\displaystyle \sf exp\left( \lim_{t \to 0} \left(\frac{3}{t}+2\right)\cdot ln\left(\frac{\frac{1}{t}-1}{\frac{1}{t}+4}\right) \right)=exp\left( \lim_{t \to0} \left(\frac{3}{t}+2\right)\cdot ln\left(1-\frac{5t}{1+4t}\right) \right)$

Используем эквивалентность бесконечно малой:  ln(1+x) = x+o(x)

$\displaystyle \sf exp\left( \lim_{t \to0} \left(\frac{3}{t}+2\right)\cdot \left(-\frac{5t}{1+4t}\right) \right)=exp\left( \lim_{t \to 0} \left(-\frac{15+10t}{1+4t}\right)\right)=e^{-15}$

Ответ: 1/e¹⁵