Question

Решить дифф. уравнение
​

Answer 1

$y'''' - y''' = 5 {(x + 1)}^{2} \\ y'''' - y''' = 5( {x}^{2} + 2x + 1) \\ y'''' - y''' = 5 {x}^{2} + 10x + 5$

1) Решаем ОЛДУ:

$y'''' - y''' = 0$

Замена:

$y = {e}^{kx} \\ {e}^{kx} ( {k}^{4} - {k}^{3} ) = 0 \\ {k}^{3} (k - 1) = 0 \\ k1 = k2 = k3 = 0 \\ k4 = 1 \\ y = C1 + C2x + C3 {x}^{2} + C4 {e}^{x}$

2) Подбираем y~ (в решении буду писать гамму)

$\gamma = (A {x}^{2} + Bx + C) \times {x}^{3} \\ \gamma = A {x}^{5} + B {x}^{4} + C {x}^{3} \\ \gamma' = 5A {x}^{4} + 4B {x}^{3} + 3 C{x}^{2} \\ \gamma'' = 20A {x}^{3} + 12B {x}^{2} + 6Cx \\ \gamma''' = 60A {x}^{2} + 24Bx + 6C \\ \gamma'''' = 120Ax + 24B$

Подставляем две последних производных в НЛДУ:

$120Ax + 24B - (60A {x}^{2} + 24Bx + 6C) = 5 {x}^{2} + 10x + 5 \\ 120Ax + 24B - 60A {x}^{2} - 24Bx - 6C = 5 {x}^{2} + 10x + 5$

Составляем систему:

$- 60A = 5 \\ 120A - 24B = 10 \\ 24B - 6C = 5 \\ \\ A = - \frac{1}{12} \\ B =( 120A - 10) \times \frac{1}{24} \\ C = (24B - 5) \times \frac{1}{6}$

$B = (120 \times ( - \frac{1}{12} ) - 10) \times \frac{1}{24} = - \frac{20}{24} = - \frac{5}{6}$

$C = (24 \times ( - \frac{5}{6} ) - 5) \times \frac{1}{6} = ( - 20 - 5) \times \frac{1}{6} = - \frac{25}{6}$

Получаем:

$\gamma = - \frac{ {x}^{5} }{12} - \frac{5 {x}^{4} }{6} - \frac{25 {x}^{3} }{6}$

В итоге общее решение:

$y = C1 + C2x + C3 {x}^{2} + C4 {e}^{x} - \frac{ {x}^{5} }{12} - \frac{5 {x}^{4} }{6} - \frac{25 {x}^{3} }{6}$