Question

Пожалуйста решите 190-191

Answer 1

190.

Дано:

$a\geq 0;$  $b\geq 0;$  $c>0$

Доказать:  $\frac{ac^2+b}{c}\geq 2\sqrt{ab}$

Решение:

$\frac{ac^2+b}{c}\geq 2\sqrt{ab}$

$\frac{ac^2+b}{c}- 2\sqrt{ab} \geq 0$

$\frac{ac^2+b-2c\sqrt{ab} }{c} \geq 0$

$\frac{(c\sqrt{a})^2-2c*\sqrt{a}*\sqrt{b}+(\sqrt{b} )^2}{c} \geq 0$  

В числителе применим формулу квадрата разности:   $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$  и получим:

$\frac{(c\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{c} \geq 0$

1) Знаменатель  $c>0$  - верное неравенство по условию.

2)  Числитель $(c\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \geq 0$  верное неравенство, так как квадрат любого числа всегда неотрицательное число.

3) Значит, неравенство $\frac{(c\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{c} \geq 0$  верно.

Доказано.

191.

Дано:

$a> 0;$  $b> 0$  

Доказать:  $(a+b)(\frac{1}{a} +\frac{1}{b} )\geq 4$

Решение:

$(a+b)(\frac{1}{a} +\frac{1}{b} )\geq 4$

$(a+b)(\frac{a+b}{ab} } )\geq 4$

$\frac{(a+b)^2}{ab} \geq 4$

$\frac{(a+b)^2}{ab}-4 \geq 0$

$\frac{a^2+2ab+b^2}{ab}-4 \geq 0$

$\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{ab} \geq 0$

$\frac{a^2-2ab+b^2}{ab} \geq 0$

В числителе формула квадрата разности:    

$\frac{(a-b)^2}{ab}\geq 0$

1) Знаменатель  $ab>0$  - верное неравенство, как произведение двух положительных чисел.

2)  Числитель $(a-b)^2 \geq 0$  верное неравенство, так как квадрат любого числа всегда неотрицательное число.

3) Значит, неравенство  $\frac{(a+b)^2}{ab}\geq 0$  верно.

Доказано.