Question

найдите все корни уравнения cos(x+п/12)=-1/2 удовлетворяющие неравенству -п/6<х<4п

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{7\pi}{12},$   $\dfrac{31\pi }{12},$   $\dfrac{5\pi }{4},$   $\dfrac{13\pi }{4}$

Объяснение:

$\cos\left(x+\dfrac{\pi }{12}\right)=-\dfrac{1}{2}$

$x+\dfrac{\pi }{12}=\pm\; arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right)+2\pi n$,     $n\in \mathbb Z$

$x+\dfrac{\pi }{12}=\pm\; \left(\pi-arccos\dfrac{1}{2}\right)+2\pi n,$

$x+\dfrac{\pi }{12}=\pm\; \dfrac{2\pi }{3}+2\pi n,$

$\left[\begin{array}{ll}x+\dfrac{\pi }{12}=\dfrac{2\pi }{3}+2\pi k\\x+\dfrac{\pi }{12}=-\dfrac{2\pi }{3}+2\pi m\end{array}$,            $k,\; m\in \mathbb Z$

$\left[\begin{array}{ll}x=\dfrac{2\pi }{3}-\dfrac{\pi }{12}+2\pi k\\x=-\dfrac{2\pi }{3}-\dfrac{\pi }{12}+2\pi m\end{array}$

$\left[\begin{array}{ll}x=\dfrac{7\pi }{12}+2\pi k\\x=-\dfrac{3\pi }{4}+2\pi m\end{array}$

Отберем корни уравнения, принадлежащие данному промежутку:

1.

$-\dfrac{\pi }{6}<\dfrac{7\pi }{12}+2\pi k<4\pi \; \: \; \: |\cdot 12$

$-2\pi <7\pi +24\pi k<48\pi$

$-9\pi <24\pi k<41\pi$

$-\dfrac{3}{8}<k<1\dfrac{17}{24}$

Так как $k\in \mathbb Z$, то

$k = 0\; \: \; \: \boldsymbol{x=\dfrac{7\pi }{12}}$

$k=1\; \: \; \: \boldsymbol{x}=\dfrac{7\pi }{12}+2\pi \boldsymbol{=\dfrac{31\pi }{12}}$

2.

$-\dfrac{\pi }{6}<\dfrac{-3\pi }{4}+2\pi m<4\pi \; \: \; \: |\cdot 12$

$-2\pi <-9\pi +24\pi m<48\pi$

$7\pi <24\pi m<57\pi$

$\dfrac{7}{24}<m<2\dfrac{3}{8}$

Так как $m\in \mathbb Z$, то

$m = 1\; \: \; \: \boldsymbol{x}=-\dfrac{3\pi }{4}+2\pi =\boldsymbol{\dfrac{5\pi }{4}}$

$m=2\; \: \; \: \boldsymbol{x}=-\dfrac{3\pi }{4}+4\pi \boldsymbol{=\dfrac{13\pi }{4}}$