Question

Дан равнобедренный треугольник ABC, причем AB = AC = 13, а ВС = 24.
В точке А построен перпендикуляр к плоскости треугольника так, что AD = 9.
Найдите расстояние от точек A и D до прямой BC. В ответ запишите квадраты
соответствующих величин.

Answer 1

Ответ:

25, 106

Объяснение:

• Расстояние от точки до прямой — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

АН⟂ВС => АН - расстояние от точки A до прямой BC .

Так как треугольник ABC равнобедренный, то высота АH является также медианой:

BH = HC=24÷2=12

Из прямоугольного треугольника АНС по теореме Пифагора найдём катет АН:

${AH}^{2} = {AC}^{2} - {HC}^{2} = {13}^{2} - {12}^{2} = (13 - 12)(13 + 12) = 25$

АD перпендикулярна плоскости (ABC). Следовательно AD перпендикулярна любой прямой находящийся в этой плоскости => AD⟂AH. Но АН⟂ВС. Значит по теореме о трёх перпендикулярах DH перпендикулярно BC. DH - расстояние от точки D до прямой BC.

Из прямоугольного треугольника ADH по теореме Пифагора найдём гипотенузу DH:

${DH}^{2} = {AD}^{2} + {AH}^{2} = {9}^{2} + 25 = 81 + 25 = 106$