Question

1)x1,x2: x^2+ax+4=0
x3,x4: x^2+bx+16=0
x1,x2,x3,x4-геометрическая прогрессия. a-? b-?
2) сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии равна 3/4 а сумма кубов его членов равна 27/208 найти сумму квадрат членов

Answer 1

$1)x^2+ax+4=0\ x^2+bx+16=0$
по условию корни удовлетворяют такому условию 
$frac{x_{4}}{x_{3}}=frac{x_{2}}{x_{1}}$
$1)\ x_{1}+x_{2}=-a\ x_{1}x_{2}=4\ 2)\ x_{3}+x_{4}=-b\ x_{3}x_{4}=16$
последние равенство , в силу того что второй третий и четвертый можно выразить как 
$x_{1}^2*q=4\ x_{1}^2*q^5=16\ q^4=4\ q=sqrt{2} \ x_{1}=sqrt[4]{8}\ x_{2}=sqrt[4]{32}\ x_{3}=sqrt[4]{128}\ x_{4}=sqrt[4]{512}\ \ a=-( sqrt[4]{8}+sqrt[4]{32})\ b=-(sqrt[4]{128}+sqrt[4]{512})$ 


$2)\ frac{b_{1}}{1-q} = frac{3}{4}\ b_{1}^3+b_{2}^3.....+b_{n}=frac{27}{208}\ \ frac{ b_{1}}{1-q}=frac{3}{4}\ b_{1}^3(1+q^3+q^6+...q^{3n})=frac{27}{208}\ \ frac{b_{1}}{1-q}=frac{3}{4}\ frac{b_{1}^3}{1-q^3}=frac{27}{208} \\ frac{b_{1}^3}{(1-q)(q^2+q+1)} = frac{27}{208}\ frac{b_{1}}{1-q}=frac{3}{4}\ \ 4b_{1}=3-3q\ b_{1}=frac{3-3q}{4}\ frac{frac{(3-3q)^3}{4^3}}{1-q^3}= frac{27}{208}$

$frac{frac{(3-3q)^3}{4^3}}{1-q^3}= frac{27}{208} \ frac{27(1-q)^3}{64(1-q^3)} = frac{27}{208}\ frac{27(1-q)^3}{64(1-q)(1+q+q^2)}=frac{27}{208}\ frac{27(1-q)^2}{64(1+q+q^2)}=frac{27}{208}\ 208*27(1-2q+q^2)=27*64(1+q+q^2)\ 208-416q+208q^2=64+64q+64q^2\ 3q^2 - 10q+3=0\ D=8^2\ q=3\ q=frac{1}{3}\ b_{1}=0.5\ b_{1}=-frac{3}{2}\ S^2=frac{0.5^2}{1-frac{1}{9}} = frac{0.25}{frac{8}{9}}=0.28125$