Question

дам 50 баллов! срочно! задание на фото, решить

Answer 1

1)

$6\cos^2x + \cos x = 1\\\\6\cos^2x + \cos x - 1 = 0$

Введём замену: $t = \cos x\ ,\ t\in [-1; 1]$ .

$6t^2 + t - 1 = 0\\\\D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4\cdot 6\cdot (-1) = 1 + 24 = 25\\\\t_{1} = \dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-1+5}{2\cdot 6} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\\\\\\t_{2} = \dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-1-5}{2\cdot 6} = \dfrac{-6}{12} = -\dfrac{1}{2}$

Обратная замена:

$\left[\begin{gathered}\cos x = \dfrac{1}{3}\\\\\cos x = -\dfrac{1}{2}\\\end{gathered}\ \ \ \Leftrightarrow\ \left[\begin{gathered}x = \arccos\dfrac{1}{3} + 2\pi k\\\\x = -\arccos\dfrac{1}{3} + 2\pi k\\\\x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k\\\\x = -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k\end{gathered}\ \ \ ,\ k\in\mathbb{Z}$

2)

$\cos^2x + 6\sin x - 6 = 0\\\\1 - \sin^2x + 6\sin x - 6 = 0\\\\-\sin^2x + 6\sin x - 5 = 0\ \ \ \ \ \Big| \cdot (-1)\\\\\sin^2x - 6\sin x + 5 = 0$

Введём замену: $t = \sin x\ ,\ t\in [-1; 1]$

$t^2 - 6t + 5 = 0$

По теореме Виета:

$\begin{equation*}\begin{cases}t_{1}t_{2} = 5\\t_{1} + t_{2} = 6\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \Big| t = 5\ ;\ t = 1 \ \ \Rightarrow \boxed{\textbf{t = 1}}$

Мы не взяли 5, потому что оно не входит в область значений переменной $t$. Обратная замена:

$\sin x = 1\\\\\\\boxed{x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k}\ ,\ k\in\mathbb{Z}$

3)

$2ctgx - 3tgx + 5 = 0\\\\\\\dfrac{2}{tgx} - 3tgx + 5 = 0\\\\\\\dfrac{2 - 3tg^2x + 5tgx}{tgx} = 0$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

$tgx \neq 0\\\\x \neq \pi k$

Приравниваем числитель к нулю:

$2 - 3tg^2x + 5tgx = 0$

Введём замену: $t = tgx$.

$2 - 3t^2 + 5t = 0\ \ \ \ \Big| \cdot (-1)\\\\3t^2 - 5t - 2 = 0\\\\D = b^2-4ac = (-5)^2 - 4\cdot 3\cdot (-2) = 25 + 24 = 49\\\\t_{1} = \dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-(-5) + 7}{2\cdot 3} = \dfrac{5+7}{6} = \dfrac{12}{6} = 2\\\\\\t_{2} = \dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-(-5)-7}{2\cdot 3} = \dfrac{5-7}{6} = \dfrac{-2}{6} = -\dfrac{1}{3}$

Обратная замена:

$\left[\begin{gathered}tgx = 2\\\\tgx = -\frac{1}{3}\\\end{gathered}\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \left[\begin{gathered}x = arctg2 + \pi k\\\\x = -arctg\dfrac{1}{3} + \pi k\\\end{gathered}\ \ \ ,\ k\in\mathbb{Z}$