Question

Найти сумму 1/(1×3)+1/(3×5)+...+1/((2n-1)×(2n+1))​

Answer 1

Воспользуемся формулой, проверяемой непосредственно:

$\frac{1}{n\cdot (n+k)}=\frac{1}{k}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}\right).$

$\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\ldots +\frac{1}{(2n-1)\cdot (2n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\ldots +\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)=$

$=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)=\frac{n}{2n+1}.$

Замечание. Этот метод работает, если заменить числа в знаменателях на элементы арифметической прогрессии.