Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА
ПОСЛЕДНИЕ БАЛЛЫ ОТДАЮ
Вычисление интегралов различными способами​

Answer 1

Ответ:

$1)\int\limits (\sqrt{x - 5} + \frac{5}{ \sqrt{9x} } )dx = \\ = \int\limits \sqrt{x - 5} dx + \int\limits \frac{5dx}{ \sqrt{9x} } = \\ = \int\limits {(x - 5)}^{ \frac{1}{2} } d(x - 5) + \frac{5}{ \sqrt{9} } \int\limits {x}^{ - \frac{1}{2} } dx = \\ = \frac{ {(x - 5)}^{ \frac{3}{2} } }{ \frac{3}{2} } + \frac{5}{3} \times \frac{ {x}^{ \frac{1}{2} } }{ \frac{1}{2} } + c = \\ = \frac{2}{3} \sqrt{ {(x - 5)}^{3} } + \frac{10}{3} \sqrt{x} + c$

$2)\int\limits \frac{ - {x}^{6} + 2 {x}^{4} + {x}^{2} }{5 {x}^{2} } dx = \\ = \int\limits( \frac{ - {x}^{6} }{5 {x}^{2} } + 2 \frac{ {x}^{4} }{5 {x}^{2} } + \frac{ {x}^{2} }{5 {x}^{2} } )dx = \\ = - \frac{1}{5} \int\limits {x}^{4} dx+ \frac{2}{5} \int\limits {x}^{2} dx - \frac{1}{5} \int\limits \: dx = \\ = - \frac{1}{5} \times \frac{ {x}^{5} }{5} + \frac{2}{5} \times \frac{ {x}^{3} }{3} - \frac{1}{5} x + c = \\ = - \frac{ {x}^{5} }{25} + \frac{2 {x}^{3} }{15} - \frac{1}{5}x + c$

$3)\int\limits {( \sin(3x) + \cos(3x)) }^{2} dx = \\ = \int\limits( { \sin }^{2} (3x) + 2 \sin(3x) \cos(3x) + { \cos}^{2} (3x))dx = \\ = \int\limits(1 + 2 \sin(3x) \cos(3x)) dx = \int\limits(1 + \sin(6x) )dx = \\ = \int\limits \: dx + \frac{1}{6} \int\limits \sin(6x) d(6x) = \\ = x - \frac{1}{6} \cos(6x) + c$

подставляем пределы:

$\frac{\pi}{2} - \frac{1}{6} \cos(3\pi) - 0 + \frac{1}{6} \cos(0) = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3\pi + 2}{6}$

$4)\int\limits \: tg(2 \gamma )d \gamma = \frac{1}{2} \int\limits \: tg( 2\gamma )d(2 \gamma ) = \\ = \frac{1}{2} \int\limits \frac{ \sin(2 \gamma ) }{ \cos(2 \gamma ) } d(2\gamma ) = - \frac{1}{2} \int\limits \frac{d( \cos(2 \gamma ) }{ \cos( 2\gamma ) } = \\ = - \frac{1}{2} ln( \cos( 2\gamma ) ) + c$

$5)\int\limits \: y {( {y}^{2} + 3) }^{4}dy = \frac{1}{2} \int\limits2y {( {y}^{2} + 3) }^{4} dy = \\ = \frac{1}{2} \int\limits {( {y}^{2} + 3) }^{4} d( {y}^{2} + 3) = \frac{1}{2} \times \frac{ {( {y}^{2} + 3) }^{5} }{5} + c = \\ = \frac{ {( {y}^{2} + 3) }^{5} }{10} + c$

подставляем пределы:

$\frac{ {(1 + 3)}^{5} }{10} - \frac{ {3}^{5} }{10} = \frac{ {4}^{5} - {3}^{5} }{10} = \frac{781}{10} = 78.1$

$6)\int\limits2x {e}^{x} dx$

по частям:

$U = 2x \: \: \: \: \: \: \: dU = 2dx \\ dV = {e}^{x}dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: V = {e}^{x}$

$2x {e}^{x} - \int\limits2 {e}^{x} dx = \\ = 2x {e}^{x} - 2 {e}^{x} + c =2 {e}^{x} (x - 1) + c$