Question

Найти частные решения дифференциальных уравнений II порядка с постоянными коэффициентами.

1) y''-3y'+2y=0 если если y=2, y'=3 при x=0

2) y''-10y'+25y=0 если y=2, y'=8 при x=0

3) y''-4y'+5y=0 если y=1, y'=-1 при x=0

Answer 1

Ответ:

везде одна замена:

$y = {e}^{kx}$

1)

${k}^{2} - 3k + 2 = 0 \\ d = 9 - 8 = 1 \\ k1 = 2 \\ k2 = 1 \\ y = C1 {e}^{2x} + C2 {e}^{x}$

общее решение

$y(0) = 2,y'(0) = 3$

$y' = 2C1 {e}^{2x} + C2 {e}^{x}$

$2 = C1 + C2 \\ 3 = 2C1 + C2 \\ \\ C2 = 2 - C1 \\ 2C1 + 2 - C1 = 3 \\ \\ C1 = 1 \\ C2 = 2 - 1 = 1$

$y = {e}^{2x} + {e}^{x}$

частное решение

2)

${k}^{2} - 10k + 25 = 0 \\ {(k - 5)}^{2} = 0 \\ k1 = k2 = 5 \\ y = C1 {e}^{5x} + C2 {e}^{5x} x$

общее решение

$y(0) = 2,y'(0) = 8$

$y' = 5c1 {e}^{5x} + 5c2 {e}^{5x} x + c2 {e}^{5x}$

$2 = C1 + 0 \\ 8 = 5C1 + C2 \\ \\ C1 = 2 \\ C2 = 8 - 5C1 = - 2$

$y = 2 {e}^{5x} - 2 {e}^{5x} x \\ y = {e}^{5x} (2 - 2x)$

частное решение

3)

${k}^{2} - 4 k + 5 = 0 \\ d = 16 - 20 = - 4 \\ k1 = \frac{4 + \sqrt{ - 4} }{2} = \frac{4 + 2i}{2} = 2 + i \\ k2 = 2 - i \\ y = {e}^{2x} (C1 \sin(x) + C2 \cos(x) )$

общее решение

$y(0) = 1,y'(0) = - 1$

$y' = 2 {e}^{2x} (C1 \sin(x) + C2\cos(x)) + {e}^{2x} (C1 \cos(x) - C2 \sin(x) )$

$1 = C2 \\ - 1 = 2C2 + C1 \\ \\ C1 = - 1 - 2C2 = - 3$

$y = {e}^{2x} ( - 3 \sin(x) + \cos(x))$

частное решение