Question

Решите пожалуйста $\frac{4cos^{2} x-1}{2sinx-\sqrt{3} } =0$

Answer 1

$\dfrac{4cos^2x-1}{2sinx-\sqrt3}=0\ \ ,\ \ \ ODZ:\ \ sinx\ne \dfrac{\sqrt3}{2}\ ,\ x\ne (-1)^{n}\dfrac{\pi}{3}+\pi n\ ,\ n\in Z\ \ \Rightarrow \\\\\\x\ne \dfrac{\pi }{3}+2\pi n\ \ \ \ \ ili\ \ \ \ x\ne \dfrac{2\pi }{3}+2\pi n\ ,\ n\in Z$

$4cos^2x-1=0\ \ ,\ \ cos^2x=\dfrac{1}{4}\\\\\\\star \ \ cos2x=cos^2x-sin^2x=cos^2x-(1-cos^2x)=2cos^2x-1\ ,\ cos^2x=\dfrac{1+cos2x}{2}\\\\\\\dfrac{1+cos2x}{2}=\dfrac{1}{4}\ \ ,\ \ 1+cos2x=\dfrac{1}{2}\ \ ,\ \ cos2x=-\dfrac{1}{2}\ \ ,\\\\2x=\pm (\pi -\dfrac{\pi}{3})+2\pi n\ \ ,\ \ 2x=\pm \dfrac{2\pi }{3}+2\pi n\ ,\ n\in Z\\\\x=\pm \dfrac{\pi}{3}+\pi n\ ,\ n\in Z$

$Otvet:\ \ x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi n\ \ \ ili\ \ x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n\ ,\ n\in Z\ .$

Answer 2

Ответ:

$x = ( - 1)^{k + 1} { \tfrac{\pi }{3} } + \pi{k}; \: k \in \Z$

Объяснение:

$\frac{4cos^{2} x-1}{2sinx-\sqrt{3} } =0 < = > \\ \begin{cases} 4cos^{2} x - 1 = 0 , \\2sinx-\sqrt{3} \neq0 \end{cases} < = > \begin{cases} cos^{2} x = \tfrac{1}{4} , \\sinx \neq \frac{ \sqrt{3}}{2}\end{cases} < = > ...$

Тут возможно прямое решение каждого из уравнений системы. Однако я для "элегантности" предложил бы следующий ход, базирующийся, на основном тригонометрическом тождестве

sin²x + cos²x = 1

$\begin{cases} 1 - sin^{2} x = \tfrac{1}{4} , \\sinx \neq \frac{ \sqrt{3}}{2}\end{cases} < = > \begin{cases} - sin^{2} x = \tfrac{1}{4} -1 , \\sinx \neq \frac{ \sqrt{3}}{2}\end{cases} \\ \begin{cases} sin^{2} x = \tfrac{3}{4} , \\sinx \neq \frac{ \sqrt{3}}{2}\end{cases} < = > \begin{cases} sin x = \pm \tfrac{\sqrt{3}}{2} , \\sinx \neq \frac{ \sqrt{3}}{2}\end{cases}$

Получаем, избавляясь от квадрата, из первого уравнении системы два уравнения :

sin x = √3/2 и

sin x = - √3/2

Это можно выразить в совокупности систем уравнений (сорри, совокупности в ЛатеХе не умею рисовать):

$\begin{cases} \sin x = \tfrac{ \sqrt{3}}{2} , \\ \sin x \neq \frac{ \sqrt{3}}{2}\end{cases} \: \cup \: \begin{cases} \sin x = - \tfrac{ \sqrt{3}}{2} , \\ \sin x \neq \frac{ \sqrt{3}}{2}\end{cases}$

Очевидно, первая система имеет пустое множество решений, а во второй системе решения уравнений не пересекаются:

$\begin{cases} \sin x = \tfrac{ \sqrt{3}}{2} , \\ \sin x \neq \frac{ \sqrt{3}}{2}\end{cases} = > \cancel o \\ \begin{cases} \sin x = - \tfrac{ \sqrt{3}}{2} , \\ \sin x \neq \frac{ \sqrt{3}}{2}\end{cases} = > \sin x = - \tfrac{ \sqrt{3}}{2} \\ \sin x = - \tfrac{ \sqrt{3}}{2} = > \\ x = ( - 1)^{k} \arcsin{- \tfrac{ \sqrt{3} }{2} } + \pi{k}; \: k \in \Z \\ x = ( - 1)^{k + 1} \arcsin{ \tfrac{ \sqrt{3} }{2} } + \pi{k}; \: k \in \Z$

Т.е. в ответе получаем:

$x = ( - 1)^{k + 1} { \tfrac{\pi }{3} } + \pi{k}; \: k \in \Z$