Question

найдите площадь фигуры ограниченной парабалой y=x^2-4x+5 и касательной к ней проведенными через ее точки с абциссами x=1, x=3

Answer 1

Объяснение:

$y=x^2-4x+5\ \ \ \ x=1 \ \ \ \ x=3.\\y_k=y(0)+y'(0)*(y-x_0)\\1)\ x_0=1\\y(1)=1^2-4*1+5=1-4+5=2.\\y'(x)=2x-4\\y'(1)=2*1-4=2-4=-2\\y_k=2-2*(x-1)=2-2x+2=4-2x\\y_k=4-2x.\\2)\ x=3\\y(3)=3^2-4*3+5=9-12+5=2\\y'(3)=2*3-4=6-4=2\\y_k=2+2*(x-3)=2+2x-6=2x-4\\y_k=2x-4.\\4-2x=2x-4\\4x=8\ |:4\\x=2\ \ \ \ \Rightarrow$

$S=\int\limits^2_1 {(x^2-4x+5-(4-2x))} \, dx +\int\limits^3_2 {(x^2-4x+5-(2x-4))} \, dx =\\=\int\limits^2_1 {(x^2-4x+5-4+2x)} \, dx +\int\limits^3_2 {(x^2-4x+5-2x+4)} \, dx=\\=\int\limits^2_1 {(x^2-2x+1)} \, dx +\int\limits^3_2 {(x^2-6x+9)} \, dx=(\frac{x^3}{3}-x^2+x)|_1^2+(\frac{x^3}{3}-3x^2+9x)|_2^3=\\=\frac{2^3}{3}-2^2+2-(\frac{1^3}{3}-1^2+1)+\frac{3^3}{3}-3*3^2+9*3-(\frac{2^3}{3}-3*2^2+9*2)=\\=\frac{8}{3}-4+2-\frac{1}{3} +9-27+27-\frac{8}{3} +12-18=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$

Ответ: S=0,66667 кв. ед.