Question

В прямоугольном треугольнике ABC на гипотенузе AC взята точка N так, что AN = NC. Через точку M, лежащую на продолжении прямой BC за точкой В, проведена прямая MN так, что MN перпендикулярна AC. MN пересекает AB в точке K. Найдите BN, если КB = 2, MB = 3, AK = 6.

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle BN=\frac{4\sqrt{13} }{3}$

Объяснение:

Дано: ΔАВС - прямоугольный.

AN = NC;

MN ⊥ АС;

КB = 2, MB = 3, AK = 6.

Найти: BN.

Решение:

1. Рассмотрим ΔКМВ и ΔNMC - прямоугольные.

∠М - общий.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠МКВ = ∠С .

2. Рассмотрим ΔКМВ и ΔАВС - прямоугольные.

∠МКВ = ∠С

⇒ ΔКМВ ~ ΔАВС (по двум углам)

Составим пропорцию:

$\displaystyle \frac{MB}{AB}=\frac{KB}{BC}\\\\\frac{3}{6+2}=\frac{2}{BC} \\\\BC=\frac{8*2}{3} =\frac{16}{3}$

3. Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

$\displaystyle AC^2=AB^2+BC^2\\\\AC^2=64+\frac{256}{9} =64(1+\frac{4}{9})=64*\frac{13}{9} \\\\AC=\sqrt{\frac{64}{9}*13 }=\frac{8\sqrt{13} }{3}$

AN = NC (условие)

⇒ BN - медиана

В прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы.

⇒ BN = AC : 2

$\displaystyle BN=\frac{8\sqrt{13} }{3}:2=\frac{4\sqrt{13} }{3}$