Question

Даны: функция z=f(x,y), точка A и вектор a . Требуется найти:
1) grad z в точке A ;
2) производную в точке A по направлению вектора a ;
3) экстремум функции z=f(x,y)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

z = x²+2xy-4x+8y;   A(3.1); вектор а = 2i -4j

1) grad в точке А

$grad Z=\frac{dz}{dx} i +\frac{dz}{dy} j$

$\frac{dz}{dx} =2x+2y-4;$    $\frac{dz}{dy} =2x+8;$    ⇒  $gradZ = (2x+2y-4)i+(2x+8)j$

$gradZ_A=(2*3+2*1-4)i+(2*3+8)j = 4i+14j$

направление градиента задается его направляющими косинусами

$cos\alpha = \frac{dz/dx}{IgradZI} ;$   $cos\beta = \frac{dz/dy}{IgradZI} ;$

$IgradZ_AI=\sqrt{(dz/dx )^2+(dz/dy)^2}=\sqrt{4^2+14^2} =2\sqrt{53}$

$cos\alpha = \frac{4}{2\sqrt{53} } ;$    $cos\beta = \frac{14}{2\sqrt{53} }$

2) производная в точке A по направлению вектора a

$\frac{dz}{da} =\frac{dz}{dx} cos\alpha +\frac{dz}{dy} cos\beta$    $cos\alpha = \frac{dz/dx}{IgradZI} ;$     $cos\beta = \frac{dz/dy}{IgradZI} ;$

$IaI=\sqrt{x^{2} +y^2} =\sqrt{2^2+(-4)^2} =2\sqrt{5}$

$cos\alpha =\frac{2}{2\sqrt{5} } ;$     $cos\beta = -\frac{4}{2\sqrt{5} } ;$

$\frac{dz}{da} =4*\frac{2}{2\sqrt{5} } -14*\frac{4}{2\sqrt{5} } = -24\frac{\sqrt{5} }{5}$

3)

$\frac{dz}{dx} =2x+2y-4;$    $\frac{dz}{dy} =2x+8;$

$\left \{ {{2x+2y-4=0} \atop {2x+8=0}} \right. ;$     ⇒  x=-4;  y= 6

критическая точка M(-4;6)

производные второго порядка

$B = \frac{d^2z}{dxdy} =2;$   $A=\frac{d^3z}{dx^2} =2;$   $C=\frac{d^3z}{dy^2} =0;$

AC -B² = -4  < 0  ⇒  глобальных экстремумов нет