Question

A=(1,0) B=(7,3) C=(4,4)
По координатам вершин треугольника ∆ABC найти:
• уравнение линии BC ;
• уравнение высоты AK ;
• длину высоты AK ;
• уравнение прямой (l), которая проходит через точку A параллельно прямой BC ;
• уравнение медианы (AM ), проведенной через вершину A;
• угол (ϕ), образованный медианой, проведенной из вершины A, и стороной AB;
• площадь треугольника ABC ;
• периметр треугольника ABC .

Answer 1

Даны координаты вершин треугольника ∆ABC:

A=(1,0) B=(7,3) C=(4,4)

Найти:

• уравнение линии BC.

;Вектор ВС = (4-7; 4-3) = (-3; 1)

Уравнение ВС: (x - 7)/(-3) = (y - 3)/1 или в общем виде:

x + 3y - 16 = 0.

• уравнение высоты AK.

АК это перпендикуляр к ВС. В уравнении АК  коэффициенты А и В прямой ВС меняются на -В и А.

АК: -3x + y + C = 0, подставим координаты точки А:

-3*1 + y*0 + C = 0, отсюда С = 3.

Уравнение АК:  -3x + y + 3 = 0 или  3x - y - 3 = 0.

• длину высоты AK.

Точка К - это пересечение ВС и АК.

x + 3y - 16 = 0,              x + 3y - 16 = 0,

3x - y - 3 = 0   |x(3) =  9x -3y - 9 = 0    

                                   10x      - 25 = 0

        x = 25/10 = 2,5,  y = 3x - 3 = 3*2,5 - 3 = 4,5.

Точка К(2,5; 4,5).

Вектор АК = (2,5-1; 4,5-0) = (1,5; 4,5).

Модуль (длина) АК = √(1,5² + 4,5²) = √(2,25 + 20,25) = √22,5 ≈ 4,743416.

• уравнение прямой (l), которая проходит через точку A параллельно прямой BC.

В уравнение ВС подставляем координаты точки А:

1 + 3*0 + С = 0, отсюда С = -1.

Уравнение АА1: x + 3y - 1 = 0.

• уравнение медианы (AM ), проведенной через вершину A.

Точка М - середина стороны ВС.

М = ((7+4)/2; (3+4)/2) = (5,5; 3,5).

Вектор АМ = (5,5-1; 3,5-0) = (4,5; 3,5).

Уравнение АМ: (x - 1)/4,5 = y /3,5 или в общем виде 7х - 9у - 7 = 0.

• угол (ϕ), образованный медианой, проведенной из вершины A, и стороной AB.

Вектор АМ =(4,5; 3,5) найден, его модуль √(20,25 +12,25) = √32,5 ≈ 5,700877125

Вектор АВ = (7-1; 3-0) = (6; 3), его модуль √(36+9) = √45 = 3√5 ≈ 6,708203932

cos (ϕ) = (4,5*6 +3,5*3)/(√32,5*3√5) = 37,5 /√1462,5 = 37,5/38,24264635 = 0,980580676.

Угол равен 0,19739556 радиан или 11,30993247  градуса.

• площадь треугольника ABC.

S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 6.

• периметр треугольника ABC.

Расчет длин сторон    

АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √52 =7,21110.

BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √9 = 3.

AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √25 = 5.

Периметр Р = 8 + √52 = 15,21110 .