Question

Прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ, равной 6 см и
углом А равным 300, вращается вокруг катета АС. Найдите объём тела
вращения.

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle9\pi\sqrt{3}$

Пошаговое объяснение:

В ΔАВС ∠А = 30° по условию.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30° вдвое меньше гипотенузы.

У нас гипотенуза АВ = 6см, тогда катет СВ = 6/2=3 (см)

Тогда второй катет

$AC = \sqrt{(AB)^2-(CB)^2} =\sqrt{6^2-3^2} =\sqrt{36-9} =\sqrt{27}$ (см)

Теперь рассмотрим фигуру, образованную вращением треугольника вокруг катета АС.

Эта фигура - конус.

Радиус основания конуса    $r= BC=3$ (см)

Высота конуса    $h=AC=\sqrt{27}$ (см)

Объем конуса считается по формуле

$\displaystyle V=\frac{1}{3} S_{OCH}*h;\quad S_{OCH}=\pi r^2; \quad \Rightarrow \quad \boldsymbol {V=\frac{1}{3} \pi r^2h}$

Подставим наши данные и получим объем конуса

$\displaystyle V= \frac{1}{3} \pi *(3)^2*\sqrt{27} =3\pi \sqrt{27}= 3\pi \sqrt{9*3} = \boldsymbol {9\pi\sqrt{3} }$  (см³)

ответ

объём тела вращения равен $\displaystyle9\pi\sqrt{3}$ см³