Question

Задание 10 класса.30 баллов​

Answer 1

$\sin x = \dfrac{1}{2}\\\\\\\left[\begin{gathered}x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\\\\x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\\\end{gathered}\ \ \ ,\ k\in\mathbb{Z}$

Для того, чтобы определить, какие корни принадлежат заданному промежутку, достаточно решить двойное неравенство для каждой серии корней.

$\dfrac{1}{2} < \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k < \dfrac{11\pi}{4}\\\\\\\dfrac{1}{2\pi} < \dfrac{1}{6} + 2k < \dfrac{11}{4}\\\\\\-\dfrac{\pi-3}{6\pi}<2k < \dfrac{31}{12}\\\\\\-\dfrac{\pi-3}{12\pi} < k <\dfrac{31}{24}$

Так как  $k\in\mathbb{Z}$ , то  $k = \left \{0; 1\right \}$. Подставляем это значение $k$ в первую серию корней.

$\dfrac{\pi}{6} + 2\pi\cdot 0 = \boxed{\dfrac{\pi}{6}}\\\\\\\dfrac{\pi}{6} + 2\pi\cdot 1 = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi = \boxed{\dfrac{13\pi}{6}}$

Для второй серии корней делаем то же самое:

$\dfrac{1}{2} < \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k<\dfrac{11\pi}{4}\\\\\\\dfrac{1}{2\pi} < \dfrac{5}{6} + 2k < \dfrac{11}{4}\\\\\\-\dfrac{5\pi - 3}{6\pi} < 2k < \dfrac{23}{12}\\\\\\-\dfrac{5\pi - 3}{12\pi} < k < \dfrac{23}{24}$

Так как  $k\in\mathbb{Z}$, то $k = 0$. Подставляем значение:

$\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi\cdot 0 = \boxed{\dfrac{5\pi}{6}}$

Итого мы имеем три корня уравнения, принадлежащих данному промежутку.

Ответ:  $\dfrac{\pi}{6}\ ;\ \dfrac{5\pi}{6}\ ;\ \dfrac{13\pi}{6}$