Question

Решите неравенства .Очень надо

Answer 1

1) $\sqrt{6x+7} < x$

Составим систему неравенств, учитывая каждое ограничение, накладывающееся на аргумент:

$\begin{equation*}\begin{cases}6x + 7 \geq 0\\x \geq 0\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}x \geq -\dfrac{7}{6}\\\\x \geq 0\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \ \Rightarrow\ \boxed{x\geq 0}$

Теперь продолжаем решать наше неравенство.

$\sqrt{6x+7} < x$

Возведём обе части неравенства в квадрат.

$6x + 7 < x^2\\\\-x^2 + 6x + 7 < 0\ \ \ \ \ \Big| \cdot (-1)\\\\x^2 - 6x - 7 > 0$

Получаем квадратное неравенство. Чтобы найти нули, приравняем левую часть к 0 и найдём корни квадратного уравнения.

$x^2 - 6x - 7 = 0$

По теореме Виета:

$\begin{equation*}\begin{cases}x_{1}x_{2} = -7\\x_{1} + x_{2} = 6\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \ \Big| x = 7; x = -1$

Возвращаемся к неравенству:

$(x-7)(x+1) > 0$

Решим его методом интервалов.

Нули: 7; -1.

          +                             -                                 +

---------------------о------------------------------о-----------------------> х

                      $-1$                                   $7$

Получаем, что решением квадратного неравенства являются промежутки $x < -1$  и  $x > 7$. Но не забываем про ограничение $x \geq 0$, которое мы вычислили выше.

$\begin{equation*}\begin{cases}x\geq 0\\ \left[\begin{gathered}x < -1\\x >7\end{gathered}\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \Rightarrow\ \boxed{x > 7}$

Ответ: $x \in (7;+\infty)$.

2) $(x-2)^2(x^2-4x+3)\geq 0$

Это задание можно решить методом интервалов. Нужно найти нули. С левым множителем понятно, он обращается в 0 при $x = 2$. Приравняем правый множитель к нулю, чтобы найти его корни.

$x^2 - 4x + 3 = 0$

По теореме Виета:

$\begin{equation*}\begin{cases}x_{1}x_{2} = 3\\x_{1} + x_{2} = 4\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \ \Big| x = 3; x = 1$

Применяем метод интервалов для нашего неравенства.

$(x-2)^2(x-3)(x-1) \geq 0$

Нули: 1; 2; 3.

       +                    -                         -                        +

---------------$\bullet$---------------------$\bullet$---------------------$\bullet$-------------------> x

                $1$                         $2$                        $3$

Так как знак неравенства $\geq$, то нам нужны те промежутки где стоит знак +. Таких два: $x \leq 1$  и  $x \geq 3$ , но и это ещё не всё. Есть ещё точка $2$, и она тоже является решением, поскольку при ней выражение обращается в 0.

Ответ:  $(-\infty; 1] \cup [3; +\infty) \cup \left \{2\right \}$ .