Question

Даю 40 баллов!Помогите решить(с рисунком)!

Плоскость α, перпендикулярная катету AC прямоугольного треугольника ABC, пересекает катет AC в точке E, а гипотенузу AB — в точке F.

а) Докажите, что EF ∥ BC

б) Докажите, что ∆AEF~∆ACB

в) Найдите отрезок EF, если AE : EC = 3 : 4, BC = 21 см

Answer 1

Ответ:

EF = 9 см

Объяснение:

Дано: α ⊥ AC, α ∩ AC = E, α ∩ AB = F, BC ⊥ AC, AE : EC = 3 : 4, BC = 21 см

Доказать: EF║BC, $зAEF \sim зACB$

Найти: EF - ?

Решение: Так как по условию α ∩ AC = E, α ∩ AB = F и α ⊥ AC, то EF ⊥ AC.

По теореме EF║BC, так как BC ⊥ AC и EF ⊥ AC.

Треугольник $зAEF \sim зACB$ по двум углам, так как угол ∠A - общий, а так как BC ⊥ AC и EF ⊥ AC, то ∠BCA = ∠FEA = 90°. Введем коэффициент пропорциональности x, тогда AE = 3x, CE = 4x. AC = AE + EC = 3x + 4x = 7x. По свойствам подобных треугольников ($зAEF \sim зACB$) :

$\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{EF}{BC} \Longrightarrow EF = \dfrac{AE \cdot BC}{AC} = \dfrac{3x \cdot 21}{7x} = 3 \cdot 3 = 9$ см.