Question

Найти интеграл методом выделения полного квадрата в знаменателе подинтегрального выражения

Answer 1

Ответ:

$\int\limits \frac{dx}{2 {x}^{2} + x - 6}$

$2 {x}^{2} + x - 6 = \\ = {( \sqrt{2}x) }^{2} + \sqrt{2} x \times 2 \times \frac{1}{2 \sqrt{2} } + \frac{1}{8} - \frac{49}{8} = \\ = {( \sqrt{2}x + \frac{1}{2 \sqrt{2} }) }^{2} - \frac{49}{8} = \\ = {( \sqrt{2}x + \frac{1}{2 \sqrt{2} } ) }^{2} - {( \frac{7}{2 \sqrt{2} } )}^{2}$

$\frac{1}{ \sqrt{2} } \int\limits \frac{d( \sqrt{2} x + \frac{1}{2 \sqrt{2} } )}{ {( \sqrt{2}x + \frac{1}{2 \sqrt{2} } )}^{2} - {( \frac{7}{2 \sqrt{2} } )}^{2} } = \\ = \frac{1}{ \sqrt{2} } \times \frac{1}{2 \times \frac{7}{2 \sqrt{2} } } ln( \frac{ \sqrt{2} x + \frac{1}{2 \sqrt{2} } - \frac{7}{2 \sqrt{2} } }{ \sqrt{2} x + \frac{1}{2 \sqrt{2} } + \frac{7}{2 \sqrt{2} } } ) + C = \\ = \frac{1}{7} ln( \frac{ \sqrt{2} x - \frac{3}{ \sqrt{2} } }{ \sqrt{2}x + \frac{4}{ \sqrt{2} } } ) + C = \\ = \frac{1}{7} ln( \frac{ \sqrt{2}(x - \frac{3}{2} ) }{ \sqrt{2}( x + 2)} ) + C = \frac{1}{7} ln( \frac{x - \frac{3}{2} }{x + 2} ) + C$

Answer 2

Ответ:1/7 ln|(1,5-x)/(x+2)| +C

Пошаговое объяснение: I=∫dx/(2x²+x-6)= 1/2·∫dx/(x²+x/2-3) =

1/2 ·∫dx/(x+1/4)²-49/16 = 1/2·∫ dx/ (x+1/4)² -(7/4)²

Применим формулу ∫dx/a²-x²= 1/2a ·ln| a+x/a-x| +C, тогда

I= -1/2 ·∫dx/(7/4)²- (x+1/4)² = -1/2 ·1/2·4/7·ln|(7/4+x+1/4)/(7/4-x-1/4)= -1/7·ln|(x+2)/(1,5-x)|= 1/7 ln|(1,5-x)/(x+2)| +C