Question

Помогите дорешать дальше интеграл пожалуйста.
есть формула как у меня в выражении, однако в числителе у меня КРОМЕ dx есть (1-4х).. не знаю что делать дальше

Answer 1

Ответ:

$\int\limits \frac{(1 - 4x)dx}{ \sqrt{ - {x}^{2} - x + 2 } }$

найдем производную знаменателя:

$( - {x}^{2} - x + 2)' = - 2x - 1$

теперь ее нам нужно сделать в числителе (чтобы потом "закинуть" в дифференциал и получить выражение в знаменателе)

$2\int\limits \frac{ \frac{1}{2}( - 4x + 1) dx }{ \sqrt{ - {x}^{2} - x + 2 } } = \\ = 2\int\limits \frac{ - 2x + \frac{1}{2} }{ \sqrt{ - {x}^{2} - x + 2} } dx = \\ = 2\int\limits \frac{ - 2x - 1 + \frac{3}{2} }{ \sqrt{ - {x}^{2} - x + 2 } } dx$

теперь разделим почленно

$2\int\limits \frac{( - 2x - 1)dx}{ \sqrt{ - {x}^{2} - x + 2} } + 2\int\limits \frac{ \frac{3}{2}dx }{ \sqrt{ - {x}^{2} - x + 2 } }$

Первый интеграл:

полученное в числителе выражение заносим под знак дифференциала и интегрируем как переменную:

$2\int\limits \frac{( - 2x - 1)dx}{ \sqrt{ - {x}^{2} - x + 2 } } = \\ = 2\int\limits \frac{d( - {x}^{2} - x + 2) }{ {( - {x}^{2} - x + 2)}^{ \frac{1}{2} } } = \\ = 2 \times \frac{ {( - {x}^{2} - x + 2)}^{ \frac{1}{2} } }{ \frac{1}{2} } + C = \\ = 4 \sqrt{ - {x}^{2} - x + 2} + C$

Второй интеграл:

$2 \times \frac{3}{2} \int\limits \frac{dx}{ \sqrt{ - {x}^{2} - x + 2 } }$

Выделим в знаменателе квадрат:

$- {x}^{2} - x + 2 = - ( {x}^{2} + x - 2) = \\ = - ( {x}^{2} + 2 \times x \times \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{9}{4} ) = \\ = - ( {(x + \frac{1}{2} )}^{2} - \frac{9}{4} ) = \\ = - ( {(x + \frac{1}{2} )}^{2} - {( \frac{3}{2}) }^{2} ) = \\ = {( \frac{3}{2}) }^{2} - {(x + \frac{1}{2}) }^{2}$

Получаем:

$3\int\limits \frac{dx}{ \sqrt{ {( \frac{3}{2} )}^{2} - {(x + \frac{1}{2}) }^{2} } }$

И теперь это можно интегрировать как табличный интеграл:

$\int\limits \frac{dx}{ \sqrt{ {a}^{2} - {x}^{2} } } = arcsin( \frac{x}{a} ) + c$

$3\int\limits \frac{d(x + \frac{1}{2}) }{ \sqrt{ {( \frac{3}{2} )}^{2} - {(x + \frac{1}{2} )}^{2} } } = \\ = 3arcsin( \frac{x + \frac{1}{2} }{ \frac{3}{2} } ) + C = \\ = 3arcsin ( \frac{2x + 1}{3} ) + C$

Итоговый ответ:

$4 \sqrt{ - {x}^{2} - x + 2 } + 3arcsin( \frac{2x + 1}{3} ) + c$