Question

В правильный треугольник со стороной 10 см вписан другой треугольник, вершины которого находятся на серединах сторон данного треугольника, в этот треугольник таким же образом вписан следующий треугольник и так далее до бесконечности. Вычисли сумму площадей всех треугольников.
ОНЛАЙН МЕКТЕП ЗАДАНИЕ 6

Answer 1

Ответ:

$\tt \dfrac{100 \cdot \sqrt{3}}{3} (CM^2)$

Объяснение:

Площадь правильного треугольника со стороной a определяется по формуле

$\tt S_{TP}=\dfrac{a^2 \cdot \sqrt{3} }{4} .$

Сторона первого треугольника равна 10 см и поэтому его площадь равна

$\tt S_{TP}=\dfrac{10^2 \cdot \sqrt{3} }{4} =\dfrac{100 \cdot \sqrt{3} }{4} =25 \cdot \sqrt{3}.$

Далее, стороны треугольника, вершины которого находятся на серединах сторон внешнего треугольника являются средними линиями и по свойству средних линий внешний треугольник делится на 4 равных треугольников (см. рисунок). Значит площадь каждого внутреннего треугольника равна четверти внешнего треугольника.

В силу вышесказанного получим сумму площадей треугольников:

$\tt 25 \cdot \sqrt{3}+\dfrac{1}{4} \cdot 25 \cdot \sqrt{3}+\left (\dfrac{1}{4} \right )^2 \cdot 25 \cdot \sqrt{3}+\left (\dfrac{1}{4} \right )^3\cdot 25 \cdot \sqrt{3}+....$

В итоге получили бесконечно убывающую геометрическую прогрессию первым членом равным $\tt b_1=25 \cdot \sqrt{3}$ и знаменателем $\tt q=\dfrac{1}{4}.$

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии определяется по формуле:

$\tt S=\dfrac{b_1}{1-q} .$

Теперь вычислим сумму площадей всех треугольников:

$\tt S=\dfrac{25 \cdot \sqrt{3}}{1-\dfrac{1}{4} } =\dfrac{25 \cdot \sqrt{3}}{\dfrac{3}{4} } =\dfrac{100 \cdot \sqrt{3}}{3} (CM^2).$