Question

Найдите косинус угла В треугольника АВС, если А(4;4), В(3;7), С(-4;8)

Answer 1

Ответ:

$\cos\angle B=-\dfrac{\sqrt{5}}{5}$

Объяснение:

Найдем длины сторон треугольника по формуле расстояния между точками с координатами (х₁; у₁), (х₂; у₂):

$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

$A(4;\; 4),\; B(3;\; 7),\; C(-4;\; 8)$

$AB=\sqrt{(3-4)^2+(7-4)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$

$BC=\sqrt{(-4-3)^2+(8-7)^2}=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$

$AC=\sqrt{(-4-4)^2+(8-4)^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$

По теореме косинусов:

$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos\angle B$

$\cos\angle B=\dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC}$

$\cos\angle B=\dfrac{10+50-80}{2\cdot \sqrt{10}\cdot 5\sqrt{2}}=\dfrac{-20}{10\sqrt{20}}=\dfrac{-2}{2\sqrt{5}}$

$\cos\angle B=-\dfrac{1}{\sqrt{5}}=-\dfrac{\sqrt{5}}{5}$