Question

Здравствуйте ,помогите пожалуйста

Answer 1

Ответ:

$1)\int\limits \frac{dx}{ {x}^{2} + 25 } = \int\limits \frac{dx}{ {x}^{2} + {5}^{2} } = \\ = \frac{1}{5} arctg( \frac{x}{5} ) + c$

подставляем пределы(5 и 1):

$\frac{1}{5} arctg(1) - \frac{1}{5} arctg( \frac{1}{5} ) = \\ = \frac{1}{5} \times \frac{\pi}{4} - \frac{1}{5} arctg( \frac{1}{5} ) = \\ = \frac{1}{5} ( \frac{\pi}{4} - arctg( \frac{1}{5} ))$

$2)\int\limits \frac{ {e}^{x} }{ {e}^{x} - 1} dx$

замена:

${e}^{x} - 1 = t \\ {e}^{x} dx = dt \\ t1 = {e}^{2} - 1 \\ t2 = e - 1$

$\int\limits \frac{dt}{t} = ln(t) + c$

подставляем пределы:

$ln( {e}^{2} - 1) - ln( e - 1) = \\ = ln( \frac{(e - 1)(e + 1)}{e - 1} ) = ln(e + 1)$

$3)\int\limits \frac{dx}{ {(3x + 2)}^{2} } = \\ = \frac{1}{3} \int\limits {(3x + 2)}^{ - 2} d(3x + 2) = \\ = \frac{1}{3} \times \frac{ {(3x + 2)}^{ - 1} }{( - 1)} + c = \\ = - \frac{1}{3(3x + 2)} + c$

подставляем пределы:

$- \frac{1}{3} ( \frac{1}{6 + 2} - \frac{1}{3 + 2} ) = - \frac{1}{3} \times ( \frac{1}{8} - \frac{1}{6} ) = \\ = - \frac{ 1}{3} \times ( - \frac{1}{24} ) = \frac{1}{72}$

$4)\int\limits3 {x}^{2} \times xdx = \int\limits3 {x}^{3} dx = \\ = \frac{3 {x}^{4} }{4} + c$

подставляем пределы

$\frac{3}{4} ( {2}^{4} - {1}^{4} ) = \frac{3}{4} \times 15 = \frac{45}{4}$