Question

Диагонали параллелограмма равны 8$\sqrt{3}$ см и 6 см. Вычислите угол между диагоналями параллелограмма, если его меньшая сторона равна $\sqrt{21}$см. Ответ дайте в градусах.

Answer 1

Ответ:

$\boxed{\angle AOB = 30^{\circ}}$

Объяснение:

Дано: ABCD - параллелограмм, $AC = 8\sqrt{3}$ см, BD = 6 см, AB = $\sqrt{21}$ см

Найти: ∠AOB - ?

Решение: Так как по условию ABCD - параллелограмм, то по свойствам параллелограмма его диагонали делятся пополам, тогда $AO = OC = AC : 2 = 8\sqrt{3} : 2 = 4\sqrt{3} = \sqrt{48}$, $BO = OD = BD : 2 = 6 : 2 = 3$. По теореме косинусов для треугольника ΔAOB:

$AO^{2} + BO^{2} - 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos \angle AOB = AB^{2}$

$\cos \angle AOB = \dfrac{AO^{2} + BO^{2} - AB^{2}}{2 \cdot AO \cdot BO} = \dfrac{(\sqrt{48} )^{2} + (3)^{2} - (\sqrt{21} )^{2}}{2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot 3} = \dfrac{48 +9 - 21}{2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot 3} =$

$= \dfrac{36}{2 \cdot 12\sqrt{3} } = \dfrac{3}{2\sqrt{3} } = \dfrac{3 \cdot \sqrt{3} }{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \dfrac{3\sqrt{3} }{2 \cdot 3} = \dfrac{\sqrt{3} }{2}$.

$\angle AOB = \arccos (\cos \angle AOB) = \arccos \left ( \dfrac{\sqrt{3} }{2} \right) = 30^{\circ}$.