Question

две строительные бригады, работая вместе, могут выполнить определённую работу за 3 дня. первая бригада, работая одна, выполнит эту работу на 8 дней быстрее чем вторая. за сколько дней может выполнить работу первая бригада, работая одна

Answer 1

Пусть $x$ - количество дней, за которое работу может выполнить первая бригада. У второй это займёт на 8 дней больше, то есть, $x+8$. Работая вместе, они выполнили её за 3 дня. Составляем уравнение:

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+8} = \dfrac{1}{3}\\\\\\\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+8} - \dfrac{1}{3} = 0$

Приводим дроби к общему знаменателю $3x(x+8)$:

$\dfrac{3(x+8)}{3x(x+8)} + \dfrac{3x}{3x(x+8)} - \dfrac{x(x+8)}{3x(x+8)} = 0\\\\\\\dfrac{3(x+8) + 3x - x(x+8)}{3x(x+8)} = 0\\\\\\\dfrac{3x + 24 + 3x - x^2 - 8x}{3x(x + 8)} = 0\\\\\\\dfrac{-x^2 - 2x + 24}{3x(x+8)} = 0\\\\\\\dfrac{-(x^2 + 2x - 24)}{3x(x + 8)} = 0\ \ \ \ \ \Big| \cdot (-1)\\\\\\\dfrac{x^2 + 2x - 24}{3x(x+8)} = 0$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. То есть:

$3x(x+8)\neq 0\\\\\begin{equation*}\begin{cases}3x\neq0\\x + 8\neq 0\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}x\neq 0\\x \neq -8\end{cases}\end{equation*}$

Приравниваем числитель к нулю:

$x^2 + 2x - 24 = 0$

По теореме Виета:

$\begin{equation*}\begin{cases}x_{1}x_{2} = -24\\x_{1} + x_{2} = -2\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \ \Big| x = -6; x = 4\ \ \ \Rightarrow\ \boxed{\bf{x = 4}}$

-6 не подходит, поскольку количество дней не может быть отрицательным числом. Поэтому получаем, что первая бригада может выполнить работу за 4 дня.

Ответ: за 4 дня.