Question

Найти объем треугольной пирамиды, отсекаемой плоскостью, проходящей через точки A(−1;1;−4),B(7;3;1) и C(9;3;6), от координатного угла.

Если ответ не является целочисленным, запишите его в виде десятичной дроби.

Answer 1

Ответ:

26

Пошаговое объяснение:

Даны координаты пирамиды: A(-1,1,-4), B(7,3,1), C(9,3,6), O(0,0,0)

Объем пирамиды, построенной на векторах a₁(x₁;y₁;z₁), a₂(x₂;y₂;z₂), a₃(x₃;y₃;z₃) равен:

$\displaystyle V=\frac{1}{6} \left|\begin{array}{ccc}x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\end{array}\right|$     где $\displaystyle x_i,y_i,z_i$  - координаты векторов.

Координаты векторов находим по формуле

$\displaystyle x = x_j - x_i;\quad y = y_j - y_i; \quad z = z_j - z_i$

Например, для вектора АВ

$\displaystyle x = x_2 - x_1; \quad y = y_2 - y_1; \quad z = z_2 - z_1\\x = 7-(-1) = 8; \quad y = 3-1 = 2;\quad z = 1-(-4) = 5$

Остальные вектора рассчитаем так же и получим в результате

АВ(8; 2; 5)

АС(10; 2; 10)

АО(1; -1; 4)

Теперь можем посчитать объем

$\displaystyle V=\frac{1}{6} \left |\begin{array}{ccc}8&2&5\\10&2&10\\1&-1&4\end{array}\right| =\frac{1}{6} *\bigtriangleup =\\\\=\frac{1}{6} *\bigg |\bigg (8*(2*4 - (-1)*10) - 10*(2*4 - (-1)*5) + 1*(2*10 - 2*5)\bigg )\bigg |= \frac{24}{6} =\\\\=\boldsymbol {4}$

ответ

объем пирамиды V = 4 ед³