Question

Кто нибудь Помогите пожалуйста! Уже который день мучаюсь!!! Найдите объем фигуры, образованной вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = х^3, касательной к этому графику в точке с абсциссой х0 = 1 и прямой у = 0.
Ответ: 2π/63. Как его получили?

Answer 1

Объём V тела (но не фигуры) равен объёму V1 тела, образованного  вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = х^3 минус объём V2 конуса, направляющая которого - это касательная к графику кривой.

$V_1=\pi \int\limits^1_0 {(x^3)^2} \, dx =\pi \frac{x^7}{7} |^1_0=\frac{\pi }{7} .$

Объём конуса $V_2=\frac{1}{3} \pi r^2H = \frac{1}{3} \pi *1^2*\frac{1}{3} =\frac{\pi }{9} .$

Решение: $V=\frac{\pi }{7} -\frac{\pi }{9} =\frac{2\pi }{63} .$

Высота конуса Н = 1/3 определена по разности х = 1 (граница фигуры на графике) и х =(2/3) как точка пересечения касательной оси Ох.

Уравнение касательной у(кас) = y'(x - xo) + yo.

y' = 3x², y'(1) = 3,

y(1) = 1³ = 1.

Уравнение касательной: у = 3(х - 1) + 1 = 3х - 3 + 1 = 3х -2.

Отсюда при у = 0 получаем х = (2/3).