Question

1)
Докажи, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, найди его площадь, если A(15;2), B(17;6), C(13;8) и D(11;4).

SABCD=

2)Дан треугольник ABC и координаты вершин этого треугольника. Определи длины сторон треугольника и укажи вид этого треугольника.

A(8;−1), B(5;−5) и C(2;−1).

AB =
;

BC =
;

AC =
.

Треугольник ABC

.равнобедренный
.разносторонний
.равносторонний
3)
Точка A находится на положительной полуоси Ox, точка B находится на положительной полуоси Oy.
Нарисуй прямоугольник AOBC и диагонали прямоугольника. Определи координаты вершин прямоугольника и точки D пересечения диагоналей, если длина стороны OA равна 16,9, а длина стороны OB равна 2,5.

A ( ; );

O ( ; );

B ( ; );

C ( ; );

D ( ;).

Answer 1

1)  Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если его противоположные стороны попарно равны, то есть AB=CD , BC=AD.  

Если у параллелограмма равны диагонали, то этот параллелограмм является прямоугольником, то есть АС=BD .

Проверим это.

$A(15;2)\ ,\ B(17;6)\ ,\ C(13;8)\ ,\ D(11;4)\\\\AB=\sqrt{(17-15)^2+(6-2)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}\\\\CD=\sqrt{(11-13)^2+(4-8)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}\\\\AB=CD\\\\BC=\sqrt{(13-17)^2+(8-6)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}\\\\AD=\sqrt{(11-15)^2+(4-2)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}\\\\BC=AD$

Так как мы получили, что не только противоположные стороны попарно равны , но равны все стороны четырёхугольника , то этот четырёхугольник - параллелограмм, являющийся либо ромбом, либо квадратом.

$AC=\sqrt{(13-15)^2+(8-2)^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}\\\\BD=\sqrt{(11-17)^2+(4-6)^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}\\\\AC=BD$

Равны диагонали . Значит АВСD - прямоугольник .

$2)\ \ A(8;-1)\ ,\ B(5;-5)\ ,\ C(2;-1)\\\\AB=\sqrt{(5-8)^2+(-5+1)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\\\\BC=\sqrt{(2-5)^2+(-1+5)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\\\\AC=\sqrt{(2-8)^2+(-1+1)^2}=\sqrt{36+0}=\sqrt{36}=6$

Так как две стороны треугольника равны, то треугольник равнобедренный .

$3)\ \ A(\, 16,9\ ;\ 0)\ ,\ \ B(\ 0\ ;\ 2,5\. )\ ,\ \ O(\, 0\, ;\, 0\, )\ ,\ \ D(\, 16,9\ ;\ 2,5\, )$

Координаты точки пересечения диагоналей можно найти как координаты середины отрезка АВ ( или ОС ), так как диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам .

$x_{D}=\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}=\dfrac{16,9+0}{2}=8,45\\\\y_{D}=\dfrac{y_{A}+y_{B}}{2}=\dfrac{0+2,5}{2}=1,25\ \ ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ D(\ 8,45\ ;\ 1,25\ )$