Question

даны векторы а (3, -2, -1) и б (1, 2, 4) найдите:
1) координаты вектора м = -3а+2б
2) длину вектора м
3) косинус угла между векторами а и б.

Answer 1

Ответ:

1) $\vec M$ = {-7; 10; 11}

$2) \quad |\vec M |=3\sqrt{30}$

$\displaystyle 3) \quad cos\alpha=-\frac{5\sqrt{6} }{42}$

Пошаговое объяснение:

$\vec a (3, -2, -1) \\\vec b(1;2;4)$

1)

$\vec M=(-3)\vec a + 2\vec b = \{(-3)a_x + 2b_x; (-3)a_y + 2*b_y; (-3)*a_z + 2*b_z\} =\\\\= \{(-3)*3 + 2*1; (-3)*(-2) + 2*2; (-3)*(-1) + 2*4\} = \\ = \{-9 + 2; 6 + 4; 3 + 8\} =\boldsymbol { \{-7; 10; 11\}}$

2)

$|\vec M| = \sqrt{ M_x^2 + M_y^2 + M_z^2} = \sqrt{(-7)^2 + 10^2 + 11^2} = \sqrt{ 49 + 100 + 121 }= \sqrt{270} = \\=\boldsymbol {3\sqrt{30} }$

3)

скалярное произведение

$\vec a *\vec b = a_x * b_x + a_y * b_y + a_z * b_z = 3*1 + (-2)*2 + (-1)*4 = 3 - 4 - 4 =\boldsymbol { -5}$

длины векторов

$|\vec a| = \sqrt{ a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} = \sqrt{ 3^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 1 }= \sqrt{14} \\\\|\vec b| = \sqrt{ b_x^2 + b_y^2 + b_z^2} = \sqrt{ 1^2 + 2^2 + 4^2 }= \sqrt{ 1 + 4 + 16} = \sqrt{21}$

А теперь  угол между векторами

$\displaystyle cos\alpha =\frac{\vec a*\vec b}{|\vec a|*|\vec b|} =-\frac{5}{\sqrt{14} *\sqrt{21} } =\boldsymbol {-\frac{5\sqrt{6} }{42}}$