Question

решить уравнение
$sin ^2x - 2sinx cosx - 3cos^2x = 0$
помогите пожалуйста​

Answer 1

Ответ:

$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n, \quad n \in \mathbb {Z}; \quad x=arctg(3)+\pi n, \quad n \in \mathbb {Z};$

Объяснение:

$sin^{2}x-2sinxcosx-3cos^{2}x=0 \quad | \quad :(cos^{2}x) \neq 0$

$\frac{sin^{2}x}{cos^{2}x}-2\frac{sinxcosx}{cos^{2}x}-3\frac{cos^{2}x}{cos^{2}x}=0;$

$(\frac{sinx}{cosx})^{2}-2\frac{sinx}{cosx}-3=0;$

$(tgx)^{2}-2tgx-3=0;$

Введём замену:

$t=tgx;$

Перепишем уравнение с учётом замены:

$t^{2}-2t-3=0;$

Решаем уравнение с помощью теоремы Виета:

$\left \{ {{t_{1}+t_{2}=-(-2)} \atop {t_{1} \cdot t_{2}=-3}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{t_{1}+t_{2}=2} \atop {t_{1} \cdot t_{2}=-3}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{t_{1}=-1} \atop {t_{2}=3}} \right. ;$

Вернёмся к замене:

$tgx=-1;$

$x=arctg(-1)+\pi n, \quad n \in \mathbb {Z};$

$x=-arctg(1)+\pi n, \quad n \in \mathbb {Z};$

$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n, \quad n \in \mathbb {Z};$

$tgx=3;$

$x=arctg(3)+\pi n, \quad n \in \mathbb {Z};$