Question

Прямые 3х +4y — 30 = 0, 3х – 4y +12 = 0 касаются окружности, радиус
которой R =5. Вычислить площадь четырехугольника, образованного этими
касательными и радиусами круга, проведенными в точки касания​

Answer 1

Даны прямые 3х +4y — 30 = 0, 3х – 4y +12 = 0 и окружность радиуса R = 5.

Находим точку пересечения прямых как вершину заданного четырёхугольника.

3х +4y — 30 = 0,

3х – 4y +12 = 0,  сложим уравнения.

6х       — 18 = 0, х  = 18/6 = 3.    у = (3х + 12\4 =  (3*3 + 12)/4 = 21/4 = 5,25.

Точка А(3; (21/4)).

Находим угол φ между двумя прямыми, заданными общими уравнениями A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + C2 = 0, который вычисляется по формуле:

cos φ = (A1A2 + B1B2)/(√(A1² + B1²)*√(A2² + B2²)).

По формуле находим:

 cos φ = (3*3 + 4*(-4)/(√(3² + 4²)*√(3² + (-4)²) = -7/25.

cos φ = -7/25 = -0,28.

φ = arccos(-0,28) = 1,85459 радиан или 106,2602 градуса.

Отрезок, соединяющий вершину А и центр окружности как биссектриса делит этот угол пополам.

Найдём его тангенс.

tg(φ/2) = √((1 - cos φ)/(1 + φ)) = √((1 - (-7/25))/(1 + (-7/25)) = √(32/18) = 4/3.

Теперь можно найти сторону "а" четырёхугольника.

а = R/tg(φ/2) = 5/(4/3) = 15/4 = 3,75.

Площадь четырёхугольника равна площади двух равных прямоугольных треугольников.

S = 2*((1/2)*5*(15/4)) = 75/4 = 18,75 кв.ед.