Question

Высшая математика. помогите пожалуйста 60баллов

Answer 1

Ответ:

1. везде замена

$y = {e}^{kx}$

a)

$y'' + y '- 6y = 0 \\ {k}^{2} + k - 6 = 0 \\ d = 1 + 24 = 25 \\ k1 = \frac{ - 1 + 5}{2} = 2 \\ k2 = - 3 \\ y = C1 {e}^{2x} + C2 {e}^{ - 3x}$

б)

$y'' + 4y' + 13y = 0\\ {k}^{2} + 4k + 13 = 0 \\ d = 16 - 52 = - 36 \\ k1 = \frac{ - 4 + \sqrt{ - 36} }{2} = \frac{ - 4 + 6i}{2} = - 2 + 3 i \\ k2 = - 2 - 3i \\ y = {e}^{ - 2x} (C1 \sin(3x) + C2 \cos(3x) )$

в)

$y'' + 6y' + 9y = 0 \\ {k}^{2} + 6k + 9 = 0 \\ {(k + 3)}^{2} = 0 \\ k1 = k2 = - 3 \\ y = C1 {e}^{ - 3x} + C2 {e}^{ - 3x} x$

2.

а)

$s''= 6t + 2$

$s '= \int\limits(6t + 2)dt = \frac{6 {t}^{2} }{2} + 2t + C1 = \\ = 3 {t}^{2} + 2t + C1$

$s = \int\limits(3 {t}^{2} + 2t + C1)dt = \\ = \frac{3 {t}^{3} }{3} + \frac{ 2{t}^{2} }{2} + C1t + C2 = \\ = {t}^{3} + {t}^{2} + C1t + C2$

общее решение

$s(1) = 3,s'(1) = 4$

система:

$3 = 1 + 1 + C1 + C2 \\ 4 = 3 + 2 + C1 \\ \\ C1 = - 1 \\ C2 = 1 - C1 = 2$

$s = {t}^{3} + {t}^{2} - t + 2$

частное решение.

б)

$y'' - 3y' = 0$

замена

$y = {e}^{ kx}$

${k}^{2} - 3 k = 0 \\ k1 = 0 \\ k2 = 3 \\ y = C1 + C2 {e}^{3x}$

общее решение

$y(0) = 1,y'(0) = - 1$

$y' = 3c2 {e}^{3x}$

система:

$1 = C1 + C2 \\ - 1 = 3C2 \\ \\ C2 = - \frac{1}{3} \\ C1 = 1 - C2 = \frac{4}{3}$

$y = \frac{4}{3} - \frac{1}{3} {e}^{3x}$

частное решение