Question

sin x + 2 cos x - 1 = 0​

Answer 1

$\sin x+2\cos x-1=0\\ \\ 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+2\Big(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\Big)-\sin^2\frac{x}{2}-\cos^2\frac{x}{2}=0\\ \\ 2\sin\frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}-3\sin^2\frac{x}{2}=0~~~~~~~~~\Bigg|:\Big(-\cos^2\frac{x}{2}\ne 0\Big)$

$3{\rm tg}^2\frac{x}{2}-2{\rm tg}\,\frac{x}{2}-1=0$

Решим последнее уравнение методом разложения на множители. Для этого левую часть уравнения можно представить в виде:

$3{\rm tg}^2\,\frac{x}{2}-3{\rm tg}\,\frac{x}{2}+{\rm tg}\,\frac{x}{2}-1=0\\ \\ 3{\rm tg}\,\frac{x}{2}\Big({\rm tg}\,\frac{x}{2}-1\Big)+{\rm tg}\,\frac{x}{2}-1=0\\ \\ \Big({\rm tg}\,\frac{x}{2}-1\Big)\Big(3{\rm tg}\,\frac{x}{2}+1\Big)=0\\ \\ {\rm tg}\,\frac{x}{2}-1=0\\ \\ \dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi}{4}+\pi n,n \in \mathbb{Z}\\ \\ \boxed{x_1=\frac{\pi}{2}+2\pi n,n \in \mathbb{Z}}$

$3{\rm tg}\, \frac{x}{2}+1=0\\ \\ \dfrac{x}{2}=-{\rm arctg}\, \frac{1}{3}+\pi n,n \in \mathbb{Z}\\ \\ \boxed{x_2=-2{\rm arctg}\, \frac{1}{3}+2\pi n,n \in \mathbb{Z}}$