Question

Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
$y''-5y'+y=7e^{3x}$

Answer 1

1) Решаем ОЛДУ:

$y'' - 5y'+ y = 0$

замена:

$y = {e}^{kx}$

${k}^{2} - 5k + 1 = 0 \\ d = 25 - 4 = 21 \\ k1 = \frac{5 + \sqrt{21} }{2} \\ k2 = \frac{5 - \sqrt{21} }{2} \\ y = C1 {e}^{ \frac{5 + \sqrt{21} }{2}x } + C2 {e}^{ \frac{5 - \sqrt{21} }{2}x }$

2) Подбираем у с неопределёнными коэффициентами:

$у = A {e}^{3x}$

$у' = 3A {e}^{3x} \\ у'' = 9A {e}^{3x}$

Подставляем в НЛДУ:

$9A {e}^{3x} - 15A {e}^{3x} + A {e}^{3x} = 7 {e}^{3x} \\ - 5A {e}^{3x} = 7 {e}^{3x} \\ A = - \frac{7}{5}$

получаем:

$у = - \frac{7}{5} {e}^{3x}$

общее решение:

$y = C1 {e}^{ \frac{5 + \sqrt{21} }{2} x} + C2 {e}^{ \frac{5 - \sqrt{21} }{2}x } - \frac{7}{5} {e}^{3x}$