Question

ОЧЕНЬ СРОЧНО ПОМОГИТЕ.Нужно найти общий интеграл дифференциального уравнения 1 порядка

Answer 1

Ответ:

$xy' + y ln( \frac{y}{x} ) = 0$

разделим на х:

$y' + \frac{y}{x} ln( \frac{y}{x} ) = 0$

это однородное ДУ

Замена:

$\frac{y}{x} = U \\ y '= U'x + U$

$U'x + U + U ln(U) = 0 \\ \frac{dU}{dx} x = - U - U ln(U) \\ - U(1 + ln(U)) \\ \int\limits \frac{dU}{U( ln(U) + 1)} = - \int\limits \frac{dx}{x} \\ \int\limits \frac{d( ln(U)) }{ ln(U) + 1} = - ln(x) + ln(C) \\ \int\limits \frac{d( ln(U) + 1)}{ ln(U) + 1} = ln( \frac{C}{x} ) \\ ln( ln(U) + 1 ) = ln( \frac{C}{x} ) \\ ln(U) + 1 = \frac{C}{x} \\ ln( \frac{y}{x} ) = \frac{C}{x} - 1$

общее решение