Question

Точка М лежит внутри угла, равного α , на расстоянии a и b от сторон этого угла. Определите расстояние от точки М до вершины угла.​

Answer 1

Ответ:

$MC=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\alpha}}{\sin\alpha}$

Объяснение:

МА⊥АС,  МВ⊥ВС,  

МА = а,  МВ = b.

В четырехугольнике CAMB сумма противолежащих углов А и В равна 180°, значит вокруг него можно описать окружность.

Эта окружность описана и около прямоугольных треугольников МАС и МВС, значит ее центр О лежит на середине гипотенузы МС.

∠С + ∠М = 180° (свойство вписанного четырехугольника),

∠М = 180° - ∠С = 180° - α

cos ∠M = cos (180° - α) = - cos α

Из ΔАМВ по теореме косинусов:

AB² = MA² + MB² - 2·MA·MB·cos∠M

AB² = a² + b² + 2ab·cosα

По следствию из теоремы синусов для треугольника АВС:

$2R=\dfrac{AB}{\sin\angle C}$

$2R=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\alpha}}{\sin\alpha}$

$MC=2R=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\alpha}}{\sin\alpha}$