Question

Решить НЕ применяя правилу Лопиталя ​

Answer 1

3. $\lim_{x\to\infty} \left(\frac{2+x}{1+x}\right)^{1+2x} =$

$= \lim_{x\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{1+x}\right)^{(1+x)\cdot\frac{1+2x}{1+x}} =$

$= e^{\lim_{x\to\infty}\frac{1+2x}{1+x}} = e^2$

4. $L = \lim_{x\to 0} \frac{\mathrm{ln}(1-3x)}{\sin(8x)}$

При $t \to 0$

$\mathrm{ln}(1+t) \sim t$

$\sin(t) \sim t$

При $x\to 0$ имеем $-3x\to 0$ и $8x\to 0$, тогда и

$\mathrm{ln}(1-3x) \sim -3x$

$\sin(8x) \sim 8x$

$L = \lim_{x\to 0} \frac{-3x}{8x} = -\frac{3}{8}$.