Question

Помогите решить интеграл

Answer 1

Ответ:

С помощью неопределенных коэффициентов (раскладываем на простейшие дроби):

$\frac{ {x}^{2} - 5x + 40 }{(x + 2)( {x}^{2} - 2x + 10)} = \frac{A}{x + 2} + \frac{Bx + C}{ {x}^{2} - 2x + 10 } \\ {x}^{2} - 5x + 40 = A( {x}^{2} - 2x + 10) + (Bx + C)(x + 2) \\ {x}^{2} - 5x + 40 = A {x}^{2} - 2Ax + 10A + B {x}^{2} + 2Bx + Cx + 2C\\ \\ 1 = A + B \\ - 5 = - 2A+ 2B + C \\ 40 = 10A + 2C \\ \\ A + B = 1 \\ C- 2A + 2B = - 5 \\ C + 5A = 20 \\ \\ B = 1 - A \\ C = 20 - 5A \\ 20 - 5A - 2A + 2 - 2A = - 5 \\ \\ - 9A = - 27 \\ A = 3 \\ \\ A = 3 \\ B= 1 - 3 = - 2 \\ C = 20 - 15 = 5$

Получаем:

$\int\limits \frac{3dx}{x + 2} - \int\limits \frac{(2x - 5)dx}{ {x}^{2} - 2x + 10}$

1 интеграл

$\int\limits \frac{3dx}{x + 2} = 3\int\limits \frac{d(x + 2)}{x + 2} = \\ = 3 ln(x + 2) + C$

2 интеграл

$\int\limits \frac{2x - 5}{ {x}^{2} - 2x + 10} dx = \int\limits \frac{2x - 2 - 3}{ {x}^{2} - 2x + 10} dx = \\ =\int\limits \frac{2x - 2}{ {x}^{2} - 2x + 10 } dx - \int\limits \frac{3dx}{ {x}^{2} - 2x + 10} = \\ = \int\limits \frac{d( {x}^{2} - 2x + 10) }{ {x}^{2} - 2x + 10} - \int\limits \frac{3dx}{ {x}^{2} - 2x + 1 + 9 } = \\ = ln( {x}^{2} - 2x + 10 ) - \int\limits \frac{3dx}{ {(x - 1)}^{2} + {3}^{2} } = \\ = ln( {x}^{2} - 2x + 10 ) - 3 \times \frac{1}{3} arctg( \frac{x - 1}{3} ) + C= \\ = ln( {x}^{2} - 2x + 10 ) - arctg( \frac{x - 1}{3} ) + C$

Объединяем. Ответ:

$3 ln(x + 2) - ln( {x}^{2} - 2x + 10 ) + arctg (\frac{x - 1}{3} ) + C$