Question

Помогите найти неопределённый интеграл, результат проверить дифференцированием:

Answer 1

Ответ:

в)

$\int\limits \frac{ {ctg}^{2}x }{ { \sin}^{2}x } dx$

замена:

$ctgx = t \\ - \frac{1}{ { \sin }^{2}x }dx = dt$

$- \int\limits {t}^{2} dt = - \frac{ {t}^{3} }{3} + C= \\ = - \frac{1}{3} {ctg}^{3} x + C$

проверка:

$( - \frac{1}{3} {ctg}^{3} (x) + C)' = \\ = - \frac{1}{3} \times 3 {ctg}^{2} x \times ( - \frac{1}{ { \sin}^{2} x} ) = \\ = \frac{ {ctg}^{2}x }{ { \sin }^{2} x}$

д)

$\int\limits2x {e}^{ - x} dx$

по частям:

$U = 2x \: \: \: \: dU = 2dx \\ dV = {e}^{ - x} dx \: \: \: V = - {e}^{ - x}$

$UV - \int\limits \: VdU = \\ = - 2x {e}^{ - x} + \int\limits2 {e}^{ - x}dx = \\ = - 2x {e}^{ - x} - 2 {e}^{ - x} + C= \\ = - 2 {e}^{ - x} (x + 1) + C$

проверка:

$( - 2 {e}^{ - x} (x + 1) + C)' = \\ = 2 {e}^{ - x} (x + 1) - 2 {e}^{ - x} = \\ = 2 {e}^{ - x} x + 2 {e}^{ - x} - 2 {e}^{ - x} = \\ = 2 {e}^{ - x} x$

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

$\int{\dfrac{\mathrm{ctg}^2 x}{\sin^2 x}{dx}}=-\int{\mathrm{ctg}^2 x \,\mathrm{d}\mathrm{ctg} x=-\dfrac{\mathrm{ctg}^3x}{3}+\mathrm{C}$

$\left(-\dfrac{\mathrm{ctg}^3x}{3}+\mathrm{C}\right)'=\mathrm{ctg}^2x\cdot\dfrac{1}{\sin^2x}=\dfrac{\mathrm{ctg}^2 x}{\sin^2 x}}$

$\int{2x\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x=-\int{2x\,\mathrm{de}^{-x}=-2x\cdot\mathrm{e}^{-x}+2\int {\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x = -2x\cdot\mathrm{e}^{-x}-2\mathrm{e}^{-x}$

$\left(-2x\cdot\mathrm{e}^{-x}-2\mathrm{e}^{-x}\right)'=-2\mathrm{e}^{-x}+2x\mathrm{e}^{-x}+2\mathrm{e}^{-x}=2x\mathrm{e}^{-x}$