Question

Решить уравнение:
$(sinx + \sqrt{3} cosx)*sin3x = 2$

Answer 1

$(sinx + \sqrt{3}cosx)*sin3x = 2\\2(\frac{1}{2}sinx + \frac{\sqrt{3}}{2}cosx)*sin3x = 2\\sin(x+\frac{\pi}{3})*sin3x = 1$

Так как произведение двух величин, непревышающих 1 по модулю, равно единице, то они либо по 1, либо по -1. Решим первый случай:

$\left \{ {{sin(x+\frac{\pi}{3}) = 1} \atop {sin3x = 1}} \right. => \left \{ {{x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n } \atop {x = \frac{\pi}{6} + \frac{2}{3}\pi k }} \right. => \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + \frac{2}{3}\pi k => 3n = k => x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in Z$

Второй случай:

$\left \{ {{sin(x + \frac{\pi}{6}) = -1 } \atop {sin3x = -1}} \right. => \left \{ {{x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi q } \atop {x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} l }} \right. => -\frac{5\pi}{6} + 2\pi q = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} l => -5 + 12q = -1 + 4l => 12q - 4l = 4 => 3q - l = 1 => l = 3q - 1 => x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} (3q - 1) = -\frac{\pi}{6} + 2\pi q - \frac{2\pi}{3} = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi q\\Answer: \\x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi q\\x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

Либо, объединяя точки, можно записать одной серией:

$Answer: x = \frac{\pi}{6} + \pi m, m \in Z$