Question

Математика. 1 курс. Помогите пожалуйста

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1)

$\displaystyle y=\frac{x^2+6}{x^4+1} ;$   x₀ = 0

уравнение касательной

$y_k=y(x_0)+y'(x_0)(x-x_0)$

y(0)= 6

$\displaystyle y'=\bigg (\frac{x^2+6}{x^4+1} \bigg )' = \bigg ((x^2+6)(x^4+1)^{-1}\bigg )' = \\\\=2x(x^4+1)^{-1}+(x^2+6)*4x^3(-1)(x^4+1)^{-2}=\frac{2x}{x^4+1} -\frac{4x^3(x^2+6)}{(x^4+1)^2}$

тогда

$\displaystyle f'(0) =\frac{2*0}{0^4+1} - \frac{4*0^3(0^2+6)}{(0^4+1)^2} =0$

и уравнение касательной будет иметь вид

$\displaystyle y_k=6+0*x=6$

теперь нормаль

$\displaystyle y_n=y(x_0)-\frac{1}{y'(x_0)} (x-x_0)$

если производная в точке x₀  равна нулю то касательная параллельна оси Ox (что у нас и есть) а уравнение нормали имеет вид x = x₀

т.е. наше уравнение нормали

х = 0

2)

$\displaystyle \left \{ {{x=t^2\hfill} \atop {y=t^3-1}} \right. ;$    t₀= -2

найдем точку, соответствующую параметру t₀= -2

x₀(-2) = 4;   y₀(-2) = -9  ⇒  M(x₀; y₀) =M(4; -9)

уравнения касательной в общем виде

$\displaystyle \frac{x-x_0}{x'_t(t_0)} = \frac{y-y_0}{y'_t(t_0)}$

так как функция задана в параметрическом виде, то отдельно находим производные $x'_t$ и $y'_t$

$x'_t=2t;$    $x'_t(-2) = -4$

$y'_t=3t^2;$    $y'_t(-2) =12;$

подставим в уравнение в общем виде

$\displaystyle \frac{x-4}{-4} =\frac{y+9}{12} ;$   или

$y_k = -3x +3$

нормаль

$(x-x_0)x'_t(t_0)+(y-y_0)y'_t(t_0)$

(x-4)*(-4)+(y+9)*12=0

$\displaystyle y_n=\frac{1}{3} x-\frac{31}{3}$