Question

35б. Помогите! Диагонали выпуклого четырѐхугольника ABCD пересекаются в точке
P. В треугольники APB, BPC, CPD и APD вписаны окружности с центрами O1,
O2, O3 и O4 соответственно.
а) Докажите, что прямые O1O3 и O2O4 перпендикулярны.
б) Пусть прямая O1O3 пересекает стороны AB и CD в точках M и N
соответственно. Найдите отношение площадей треугольников CPN и DPN, если
около четырѐхугольника ABCD можно описать окружность и AM : MB = 1 : 2.

Answer 1

a) Центры вписанных окружностей лежат на биссектрисах.

Биссектрисы вертикальных углов составляют прямую.

Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

PO1⊥PO2 => O1O3⊥O2O4

б) ∠BAC=∠BDC (вписанные углы), △APB~△DPC (по углам)

Биссектрисы PM и PN являются соответствующими отрезками в подобных треугольниках => делят соответствующие стороны в равном отношении.

DN/NC =AM/MB =1/2

Площади треугольников с равными высотам относятся как основания.

S(CPN)/S(DPN) =NC/DN =2/1