Question

При каком наименьшем натуральном nn число n!=1⋅2⋅…⋅n делится на 2 600 000?​

Answer 1

Ответ: n=25

Объяснение:

Разложим  2600000 на множители

$2600000=26\cdot 10^5=13\cdot 2 \cdot (2\cdot 5)^5 =\\\\ =13\cdot 2\cdot 2^5\cdot 5^5 =13\cdot 2^6\cdot 5^5$

Смотрим на наибольшее простое число это 13

Из-за чего n как минимум равно 13

Далее воспользуемся формулой нахождения нулей

Для n!  

$\displaystyle \bigg[\frac{n}{5}\bigg] +\bigg[\frac{n}{25}\bigg] +\bigg[\frac{n}{125}\bigg] +\ldots$
([]- квадратные скобки выделяют целую часть числа числа  )

Продолжаем так делить до тех пор пока

$\bigg[\dfrac{n}{5^k}\bigg] =0$  

(k -количество раз которое мы делили n на 5 до тех пор пока не выполнилось такое равенство )

В нашем случае у числа  2600000 ; 5 нулей

Пусть тогда  n=25  (т.к  25:5= 5)

$\displaystyle \bigg[\frac{25}{5}\bigg] +\bigg[\frac{25}{25}\bigg]+\bigg[\frac{25}{125}\bigg]=5+1+0 =6$

Нам нужно пять нулей поэтому  возьмем n=24

$\displaystyle \bigg[\frac{24}{5}\bigg] +\bigg[\frac{24}{25}\bigg]+\bigg[\frac{24}{125}\bigg]=4+0+0=4$

Уже не хватает нулей

А их кол-во дальше будет только уменьшаться

Поэтому берем  n=25