Question

Найдите координаты векторов, определите, компланарны ли они.

Answer 1

$\vec{AB} = (-1,\;3,\;0)\\ \vec{BC} = (1,\;-2,\;0)\\ \vec{AC} = (0,\; -1,\; 0)$

Поэтому любая комбинация векторов не выводит за пределы плоскости, уравнение которой легко найти, вычислив нормальный вектор как векторное произведение $[\vec{BC},\;\vec{AC}] = \det\left(\begin{array}{ccc}\textbf{i}&\textbf{j}&\textbf{k}\\1&-2&0\\0&-1&0\end{array}\right)=(0,\;0,\;1)$ - здесь он весьма примитивен. Но для систематического подхода давайте проделаем общие выкладки: $\vec{a} = \vec{AB}-2\vec{CA}=\vec{AB}+2\vec{AC} = (-1,\;1,\; 0)$, $\vec{b} = 2\vec{BC}+\vec{AC} = (2,\; -5,\;0)$, $\vec{c}=2\vec{AC}-\vec{BC} = (-1,\; 0,\; 0)$.

Смешанное произведение: $(\vec{a},\; \vec{b},\; \vec{c}) = \det \left(\begin{array}{ccc}-1&1&0\\2&-5&0\\-1&0&0\end{array}\right) = 0$, то есть векторы компланарны, что мы и заключили в самом начале.