Question

Помогите решить неопределенный интеграл
$\int\frac{\sqrt{arctg^{3}*5x }-3x }{1+25x^{2} } \, dx$

Answer 1

Ответ:

Метод: Замена переменной

Пошаговое объяснение:

$\int\limits {\frac{\sqrt{arctg^35x}-3x }{1+25x^2} } \, dx=\int\limits {\frac{\sqrt{arctg^35x} }{1+25x^2} } \, dx-\int\frac{3x}{1+25x^2} } \, dx\\\\1)\;\;\;\int\limits {\frac{\sqrt{arctg^35x} }{1+25x^2} } \, dx=|arctg5x=t;\;\;\;\frac{5dx}{1+25x^2} =dt;\;\;\;\frac{dx}{1+25x^2}=\frac{1}{5}dt|=\frac{1}{5}\int\limits {\sqrt{t^3} } \, dt=\frac{1}{5}*\frac{2t^{\frac{5}{2} }}{5}=\frac{2}{25}\sqrt{arctg^55x}+C$

$2)\;\;\;3\int\limits {\frac{x}{1+25x^2} } \, dx =|1+25x^2=t;\;\;\;50xdx=dt;\;\;\;xdx=\frac{1}{50}dt|=\frac{3}{50} \int\limits {\frac{1}{t} } \, dt= \frac{3}{50}ln|t|=\frac{3}{50}ln|1+25x^2|+C$

$\int\limits {\frac{\sqrt{arctg^35x}-3x }{1+25x^2} } \, dx =\frac{2}{25}\sqrt{arctg^55x}- \frac{3}{50}ln|1+25x^2|+C$