Question

Найти частные производные и частные дифференциалы функции. (50 баллов, спам - репорт)

Answer 1

Ответ:

$u = ln( \sqrt{ \frac{ {x}^{2} + {y}^{2} }{ {x}^{2} + {z}^{2} } } )$

Частные производные:

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{ \sqrt{ \frac{ {x}^{2} + {y}^{2} }{ {x}^{2} + {z}^{2} } } } \times \frac{1}{2} {( \frac{ {x}^{2} + {y}^{2} }{ {x}^{2} + {z}^{2} } )}^{ - \frac{1}{2} } \times \frac{( {x}^{2} + {y}^{2} )'( {x}^{2} + {z}^{2} ) - ( {x}^{2} + {z}^{2})'( {x}^{2} + {y}^{2}) }{ {( {x}^{2} + {z}^{2} ) }^{2} } = \\ = \frac{1}{2} \times \frac{ {x}^{2} + {z}^{2} }{ {x}^{2} + {y}^{2} } \times \frac{2x( {x}^{2} + {z}^{2} ) - 2x( {x}^{2} + {y}^{2} ) }{ {( {x}^{2} + {z}^{2} )}^{2} } = \\ = \frac{1}{2( {x}^{2} + {y}^{2} ) } \times \frac{2x( {x}^{2} + {z}^{2} - {x}^{2} - {y}^{2} ) }{ {x}^{2} + {z}^{2} } = \\ = \frac{x( {z}^{2} - {y}^{2} )}{( {x}^{2} + {y}^{2})( {x}^{2} + {z}^{2}) }$

$\frac{du}{dy} = \frac{1}{2} \times \frac{ {x}^{2} + {z}^{2} }{ {x}^{2} + {y}^{2} } \times ( {x}^{2} + {z}^{2} ) \times ( {( {x}^{2} + {y}^{2}) }^{ - 1} )' \times ( {x}^{2} + {y}^{2} ) '= \\ = \frac{1}{2} \times \frac{( {x}^{2} + {z}^{2} )^{2} }{ {x}^{2} + {y}^{2} } \times ( - {( {x}^{2} + {y}^{2}) }^{ - 2} \times 2y = \\ = \frac{y {( {x}^{2} + {z}^{2}) }^{2} }{ {( {x}^{2} + {y}^{2}) }^{3} }$

$\frac{du}{dz} = \frac{1}{2} \times \frac{ {x}^{2} + {z}^{2} }{ {x}^{2} + {y}^{2} } \times \frac{1}{ {x}^{2} + {y}^{2} } \times ( {x}^{2} + {z}^{2} )' = \\ = \frac{ {x}^{2} + {z}^{2} }{2 {( {x}^{2} + {y}^{2}) }^{2} } \times 2z = \\ = \frac{z( {x}^{2} + {z}^{2} ) }{ {( {x}^{2} + {y}^{2} ) }^{2} }$

частные дифференциалы:

$du = \frac{x( {z}^{2} - {y}^{2}) }{( {x}^{2} + {y}^{2})( {x}^{2} + {z}^{2}) } dx$

$du = \frac{y( { {x}^{2} + {z}^{2} )}^{2} }{ {( {x}^{2} + {y}^{2} )}^{3} } dy$

$du = \frac{z( {x}^{2} + {z}^{2}) }{ {( {x}^{2} + {y}^{2} )}^{2} } dz$

Примечание: буква "d" здесь везде имеет закругленный к верху конец.