Question

Найдите минимальное значение выражения a2+b2+c2−ab−bc−c.

Answer 1

условием экстремума функции является равенство нулю её первой производной

f(a,b,c) = a²+b²+c²−ab−bc−c

берем производные по каждому аргументу и приравниваем 0

f'(a) = 2a - b

2a - b = 0

a = b/2

f'(b) = 2b - a -  c

2b - a -  c = 0

2b = a + c

2b = b/2 + c

c = 3b/2

b = 2c/3

f'(c) = 2c  - b - 1

2c  - b - 1 = 0

4/3c = 1

c = 3/4

-----итак

a = b/2    a = 1/4

b = 2c/3    b = 2*3/4 : 3 = 1/2

c = 3/4

------

fmin(1/4, 1/2, 3/4) = (1/4)² + (1/2)² + (3/4)² - 1/2*1/4 - 1/2*3/4 - 3/4 = 1/16 + 1/4 + 9/16 - 1/8 - 3/8 - 3/4 = 1/16 + 4/16 + 9/16 - 2/16 - 6/16 - 12/16 = -6/16 = - 3/8

min = -3/8