Question

Помогите пожалуйста решить систему дифференциальных уравнений. Очень надо

Answer 1

Ответ:

$x'= 2x - y \\ y'= x + 2y$

$\\ x' = 2x - y \\ x = y'- 2y \: (1)$

берем производную второго уравнения:

$x' = y'' - 2y' \: \: (2)$

теперь (1) и (2) подставляем в первое уравнение (х' = 2х - у)

$y'' - 2y' = 2(y'- 2y) - y \\ y'' - 2y' = 2y'- 4y - y \\ y'' - 4y'+ 5y = 0$

Это ОЛДУ, стандартная замена:

$y = {e}^{kt} \\ {e}^{kt} ( {k}^{2} - 4k + 5) = 0 \\ D = 16 - 20 = - 4 \\ k1 = \frac{4 + \sqrt{ - 4} }{2} = \frac{4 + 2i}{2} = 2 + i \\ k2 = 2 - i \\ \\ y = {e}^{2t} (C1 \sin(t) + C2 \cos(t))$

получаем:

$y = {e}^{2t} (C1 \sin(t) + C2 \cos(t)) \\ x = y' - 2y$

берем производную у и подставляем во второе уравнение

$y'= 2 {e}^{2t} (C1 \sin(t) + C2 \cos(t) ) + {e}^{2t} (C1 \cos(t) - C2 \sin(t)) = \\ = {e}^{2t} ((2C1 - C2) \sin(t) + (C1 + 2C2) \cos(t))$

$x = {e}^{2t} ((2C1 - C2) \sin(t) + (C1 + 2C2) \cos(t) ) - 2 {e}^{2t} (C1 \sin(t) + C2 \cos(t) ) = \\ = {e}^{2t} ((2C1 - C2) \sin(t) + (C1 +2 C2) \cos(t) - 2C1 \sin(t) - 2C2 \cos(t) ) = \\ = {e}^{2t} ( - C2 \sin(t) + C1 \cos(t) )$

Ответ:

$y = {e}^{2t} (C1 \sin(t) + C2 \cos(t)) \\ x = {e}^{2t} (C1 \cos(t) - C2 \sin(t))$